Dirac's General Relativity (4)

22. Harmonic coordinate (pp. 40-41) 

한 scalar 𝑉를 위한 d'Alembert 방정식, 즉 □𝑉 = 0 는, (10.9)로부터 다음을 제공한다.                                  𝑔^μν(𝑉_,μν - 𝛤^α_μν𝑉_,α) = 0.                               (22.1) 만일 우리가 평평한 공간에서 직선 좌표계를 사용한다면, 네 좌표 𝑥^𝜆의 각각은 □𝑥^𝜆 = 0 을 만족한다. 우리는 (22.1) 안에서 𝑉를 𝑥^𝜆 로 대치할 수도 있겠다. 그 결과는, 물론, 한 tensor 방정식이 아닌데, 그것은 𝑥^𝜆가 𝑉와 같은 한 scalar가 아니기 때문이어서, 어떤 좌표계에서만 유효하다. 그것은 좌표들에 대해 한 제약을 가한다.
               만일 우리가 𝑉를 위해 𝑥^𝜆로 대치한다면, 𝑉_,𝛼를 위해서는 우리는 𝑥^𝜆_,𝛼 = 𝑔^𝜆_𝛼로 대치하여야 한다. 그 방정식 (22.1)은 다음으로 된다. 𝑔^μν𝛤^𝜆_μν = 0.                               (22.2) 이 조건을 만족시키는 좌표들은 harmonic 좌표 라 불린다. 그것들은 굽은 공간에서 우리가 갖을 수 있는 직선 좌표계에 가장 가까운 근사를 제공한다. 우리는 원한다면 그것들을 어떠한 문제에서도 사용할 수 있지만, 일반 좌표들과 tensor formalism이 정말로 꽤 편리하기 때문에 아주 자주는 그럴 가치가 없다. 그렇지만, 중력파(gravitational waves)를 위해서는 harmonic 좌표가 대단히 유용하다.
              우리는 일반 좌표에서, (7.9)과  (7.6)로부터 다음을 갖는다.                                  𝑔^αβ_,𝜎 = -𝑔^μα𝑔^νβ(𝛤_αβ𝜎 + 𝛤_βα𝜎) = -𝑔^νβ𝛤^μ_β𝜎 - 𝑔^μα𝛤^ν_α𝜎.                               (22.3) 이리하여 (20.6)의 도움으로 ,                                  (𝑔^μν√)_,𝜎 = (-𝑔^νβ𝛤^μ_β𝜎 - 𝑔^μ𝜎𝛤^ν_α𝜎 + 𝑔^μν𝛤^β_αβ)√.                               (22.4)𝜎 = ν 로 놓아서 축약을 하면, 우리는 다음을 얻는다.                                  (𝑔^μν√)_,ν = -𝑔^νβ𝛤^μ_βν√.                               (22.5)          우리는 이제 그 harmonic 조건을 위한 한 대안적 형태가 다음이라는 것을 안다.                                    (𝑔^μν√)_,ν = 0.                               (22.6)
    [comment] 아직은 불명확하지만, 이상의 harmonic 좌표가 앞으로 어디에 어떻게 쓰일 것인지 기대됩니다.

23. Electromagnetic field 전자기장 (pp. 41-43) 

통상적으로 쓰여진 Maxwell 방정식들은 다음과 같다.*  𝐸 = -(1/𝑐) ∂𝛢/∂𝑡 - grad 𝜙,                               (23.1)𝐻 = curl 𝛢,                               (23.2) (1/𝑐) ∂𝐻/∂𝑡 = -curl 𝐸,                               (23.3)div 𝐻 = 0,                               (23.4)(1/𝑐) ∂𝐸/∂𝑡 = curl 𝐻 - 4π𝑗,                               (23.5)div 𝐸 = 4π𝜌.                               (23.6) 우리는 먼저 특수상대성을 위해서 사차원의 형식에 넣어야만 한다. potential 𝛢와 𝜙는 다음과 일치되게 4-vector 𝜅^𝑚를 형성한다.                                  𝜅⁰ = 𝜙,      𝜅^𝑚 = 𝛢^𝑚,     (𝑚 = 1, 2, 3)         다음을 정의하라.                                  𝐹_𝜇𝜈 = 𝜅_𝜇,𝜈 - 𝜅_𝜈,𝜇,                               (23.7) 그러면 (23.1)로부터                                  𝐸¹ = - ∂𝜅¹/∂𝑥⁰ - ∂𝜅⁰/∂𝑥¹ = ∂𝜅₁/∂𝑥⁰ - ∂𝜅₀/∂𝑥¹ = 𝐹₁₀ = -𝐹¹⁰     그리고 (23.2)로부터                                  𝐻¹ = ∂𝜅³/∂𝑥² - ∂𝜅²/∂𝑥³ = - ∂𝜅₃/∂𝑥² - ∂𝜅₂/∂𝑥³ = 𝐹₂₃ = 𝐹²³. 이리하여 반대칭 tensor 𝐹_𝜇𝜈의 여섯 성분들은 𝐸와 𝐻의 field 양들을 결정한다.
        (23.7) 정의로부터                                  𝐹_{𝜇𝜈,𝜎} + 𝐹_{𝜈𝜎,𝜇} + 𝐹_{𝜎𝜇,𝜈} = 0.                               (23.8) 이것은 Maxwell 방정식 (23.3)과 (23.4)를 부여한다. 우리는 다음을 갖는다.                                  𝐹^0𝜈_,𝜈 = 𝐹^0𝑚_,𝑚 = -𝐹^𝑚0𝜈_,𝑚 = div 𝐸 = 4π𝜌.                        (23.9) 위는 (23.6)로부터이다. 다시                                  𝐹^1𝜈_,𝜈 = 𝐹¹⁰_,0 + 𝐹¹²_,2 + 𝐹¹³_,3 = - ∂𝐸¹/∂𝑥⁰ + ∂𝐻³/∂𝑥² - ∂𝐻²/∂𝑥³ = 4π𝑗¹.                               (23.10) 위는 (23.5)로부터이다. 전하밀도 𝜌와 전류 𝑗^𝑚은 다음과 일치하는 한 4-vector를 형성한다.                                  𝐽⁰ = 𝜌,      𝐽^𝑚 = 𝑗^𝑚. 이리하여 (23.9)와 (23.10)는 다음으로 결합한다. 𝐹^𝜇𝜈_,𝜈 = 4π𝐽^𝜇.                               (23.11)  이런 방법으로 Maxwell 방정식들은 특수상대성이 요구되는 사차원 형식 속으로 넣어진다.
        일반상대성으로 나아가기 위해서는 우리는 그 방정식들을 공변적 형식으로 써야 한다. (21.5)를 이유로 우리는 (23.7)을 즉시 다음처럼 쓸 수 있다.                                  𝐹_𝜇𝜈 = 𝜅_𝜇:𝜈 - 𝜅_𝜈:𝜇. 이것은 우리에게 field 양 𝐹_𝜇𝜈의 한 공변적 정의를 제공한다. 우리는 더 이상으로 다음을 갖는다.                                  𝐹_{𝜇𝜈:𝜎} = 𝐹_{𝜇𝜈,𝜎} - 𝛤^α_μ𝜎𝐹_α𝜈 - 𝛤^α_𝜈𝜎𝐹_μα.𝜇,𝜈 그리고 𝜎의 순환치환(cyclic permutation)을 만들고 그렇게 얻은 세 방정식을 합하면, 우리는 다음을 얻는다.                                  𝐹_{𝜇𝜈:𝜎} + 𝐹_{𝜈𝜎:𝜇} + 𝐹_{𝜎𝜇:𝜈} = 𝐹_{𝜇𝜈,𝜎} + 𝐹_{𝜈𝜎,𝜇} + 𝐹_{𝜎𝜇,𝜈} = 0.                               (23.12) 위는 (23.8)로부터이다. 그래서 이 Maxwell 방정식은 즉시 공변적 형식으로 넘어간다.
        마지막으로, 우리는 이 (23.11) 방정식을 다루어야만 한다. 이것은 일반상대성에서 유효한 방정식이 아니므로 공변적 방정식으로 대치되어야 하므로                                     𝐹^𝜇𝜈_:𝜈 = 4π𝐽^𝜇.                              (23.13) 임의의 반대칭의 두 첨자 tensor에도 적용되는 (21.3)으로부터, 우리는 다음을 얻는다.                                   (𝐹^𝜇𝜈√)_,𝜈 = 4π𝐽^𝜇√. 이것은 즉시 다음으로 인도한다.                                   (𝐽^𝜇√)_,𝜇 = (4π)^-1(𝐹^𝜇𝜈√)_,𝜇𝜈 = 0. 그래서 우리는 우리에게 전기의 보존 법칙을 제공하는 (21.2)와 유사한 한 방정식을 갖는다. 그 전기의 보존은 공간의 곡률에 의해서 방해받지 않고 정확하게 유효하다.

    [comment] * 근래에는 자기장력 𝐻보다 자속밀도 𝐵를 사용합니다; 참으로 놀랍게 간결하고 엄밀하면서 지극히 아름다운 추론입니다!

24. Modification of the Einstein equations by the

      presence of matter 아인슈타인 장방정식-물질 존재-의 조정 (pp. 43-45) 


물질이 없을 때의 Einstein 방정식은 다음이다.                                  𝑅^𝜇𝜈 = 0.                              (24.1) 그것들은 다음으로 유도된다.                                  𝑅 = 0;     또한 여기에서                                  𝑅^𝜇𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑅 = 0.                              (24.2) 만일 우리가 (2.2)와 시작하면, 우리는 다음을 얻어서                                  𝑅 - 2𝑅 = 0    그래서 (24.1)로 돌아갈 수 있다. 우리는 빈 공간을 위해서는 (24.1)이나 (24.2)를 상용할 수 있겠다.
         물질이 존재하면 이 방정식들은 조정되어야만 한다. (24.1)이 다음으로 바뀌었다고 가정하자.                                  𝑅^𝜇𝜈 = 𝑋^𝜇𝜈.                              (24.3) 그리고 (24.2)는 다음이 된다.                                  𝑅^𝜇𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑅 = 𝑌^𝜇𝜈.                              (24.4) 여기서 𝑋^𝜇𝜈와 𝑌^𝜇𝜈는 물질의 존재를 포함하는 대칭적 2차 tensor들이다.
        우리는 이제 (24.4_가 작업하기 더 편리한 형식이라는 것을 안다. 왜냐하면 우리에게 다음을 말해주는 Bianchi 관계식 (14.3)을 갖기 때문이다. [𝑅^𝜇𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑅]_:𝜈 = 0. 여기에서 (24.4)는 다음을 요구한다.                                  𝑌^𝜇𝜈_:𝜈 = 0.                              (24.5) 임의의 물질에 의해 생산된 tensor 𝑌^𝜇𝜈는 이 조건을 만족시켜야만 한다; 그렇지 많으면 방정식 (24.4)는 일관성이 없을 것이다.
         계수 -8π를 도입하는 것이 편리하고 또한 방정식 (24.4)를 다음으로 다시 쓴다.                                  𝑅^𝜇𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑅 = -8π𝑌^𝜇𝜈.                              (24.6) 우리는 이 계수를 갖고 있는 tensor 𝑌^𝜇𝜈가 (비중력적) energy와 momentum의 밀도와 flux(線束 선다발)로 해석되는 것을 발견할 것이다.𝑌^𝜇0는 밀도이고 또한 𝑌^𝜇𝑟는 그 flux이다.
         평평한 공간에서 방정식 (24.5)는 다음이 될 것이고                                  𝑌^𝜇𝜈_,𝜈 = 0     또한 energy와 momentum의 보존을 제공한다. 굽은 공간에서는 energy와 momentum의 보존은 오직 근사일 뿐이다. 그 오류는 그 물질에 작용하고 또한 자체에 약간의 denergy와 momentum을 갖는 중력장에 기인한다.

    [comment] 드디어 본격적이고 보다 난해할 것으로 예상되는 물질이 존재하는 경우의 Einstein 장방정식을 다루기 시작했습니다.

25. The material energy tensor 물질 에너지 텐서 (pp. 45-47) 

우리가 한 점에서 근방의 곳으로 연속적으로 변화하는 속도의 물질의 어떤 분포를 갖고 있다고 가정하라. 만일 𝑍^𝜇가 그 물질의 한 요소를 나타낸다면, 우리는, 한 field 함수와 같은 𝑥들의 한 연속 함수가 되는, 속도 vector 𝑣^𝜇 = 𝑑𝑍^𝜇/𝑑𝑠 를 도입할 수 있다. 그것은 다음의 특성을 갖는다. 𝑔_𝜇𝜈𝑣^𝜇𝑣^𝜈 = 1.                               (25.1)                                  0 = (𝑔_𝜇𝜈𝑣^𝜇𝑣^𝜈)_:𝜎 = 𝑔_𝜇𝜈(𝑣^𝜇𝑣^𝜈_:𝜎 + 𝑣^𝜇_:𝜎𝑣^𝜈) = 2𝑔_𝜇𝜈𝑣^𝜇𝑣^𝜈_:𝜎. 이리하여                                  𝑣^𝜇𝑣^𝜈_:𝜎 = 0.                               (25.2)         우리는 𝐽^𝜇가 전기의 밀도와 흐름을 결정하는 것과 똑같이 물질의 밀도와 흐름을 벡터장 𝜌𝑣^𝜇이 결정하도록 하는 한 스칼라장 𝜌을 도입할 수 있겠다; 말하자면, 𝜌𝑣⁰√ 은 그 밀도이고 𝜌𝑣^𝑚√ 은 그 흐름이다. 그 물질의 보존을 위한 조건은                                  (𝜌𝑣^𝜇√)_,𝜇 = 0 혹은                                  (𝜌𝑣^𝜇)_:𝜇 = 0.                               (25.3)         우리가 고려하는 그물질은 한 energy 밀도 𝜌𝑣⁰𝑣⁰√ 와 energy flux 𝜌𝑣⁰𝑣^𝑚√ 를, 또한 유사한게 momentum 밀도 𝜌𝑣^𝑛𝑣⁰√ 그리고 momentum flux 𝜌𝑣^𝑛𝑣^𝑚√ 를 가질 것이다. 다음으로 놓아라.                                  𝑇^𝜇𝜈 = 𝜌𝑣^𝜇𝑣^𝜈.                              (25.4) 그러면 𝑇^𝜇𝜈√ 는 energy와 momentum의 밀도와 flux를 제공한다. 𝑇^𝜇𝜈는 물질 energy tensor라 불린다. 그것은, 물론, 대칭적이다.
        우린는 𝑇^𝜇𝜈를 Einstein 방정식 (24.6)의 우측변에 물리질 항으로 사용할 수 있을까? 이 목적을 위해서 우리는 𝑇^𝜇𝜈_{:𝜈 = 0} 가 요구된다. 우리는 정의 (25.4)로부터 다음을 갖는다.                                  𝑇^𝜇𝜈_:𝜈 =  (𝜌𝑣^𝜇𝑣^𝜈)_:𝜈 = 𝑣^𝜇(𝜌𝑣^𝜈)_:𝜈 + 𝜌𝑣^𝜇𝑣^𝜈_:𝜈. 여기 첫번째 항은 질량의 보존을 위한 조건 (25.3)으로부터 사라진다. 만일 그 물질이 측지선을 따라 움직인다면 두번째 항도 사라지는데, 만일 𝑣^𝜇가 단지 한 셰계선에서 의미를 갖는 대신에 한 연속적인 field 함수로 정의된다면, 우리는 다음을 갖는다.                                  𝑑𝑣^𝜇/𝑑𝑠 = 𝑣^𝜇_,𝜈𝑣^𝜈. 그래서 (8.3)은 다음이 된다.                                  (𝑣^𝜇_,𝜈 + 𝛤^μ_ν𝜎𝑣^𝜎)𝑣^ν = 0     혹은                                  𝑣^𝜇_:𝜈𝑣^ν = 0.                               (25.5)          우리는 이제 우리가 Einstein 방정식 (24.4) 안에 한 적당한 수인 계수 𝑘로 그 물질 energy tensor를 대치할 수 있는 것을 안다. 우리는 다음을 얻는다. 𝑅^𝜇𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑅 = 𝑘𝜌𝑣^𝜇𝑣^𝜈.                               (25.6)          우리는 이제 그 계수 𝑘의 값을 결정할 것이다. 우리는 Newton삭 근사로 건너가서, Section 16의 방법을 따른다. 우리는 먼저 (25.6)을 축약하고, 다음을 얻는 것을 먼저 주목한다.                                  -𝑅 = 𝑘𝜌. 그래서 (25.6)은 다음으로 쓸 수 있겠다.                                  𝑅^𝜇𝜈 = 𝑘𝜌[𝑣^𝜇𝑣^𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈].  (16.4)에 해당하는 weak field 근사로 우리는 다음을 얻는다.                                  (1/2)𝑔^𝜌𝜎(𝑔_{𝜌𝜎,μν} - 𝑔_{ν𝜎,μ𝜌} - 𝑔_{μ𝜌,ν𝜎} + 𝑔_{μν,𝜌𝜎}) = 𝑘𝜌[𝑣𝜇𝑣_𝜈 - (1/2)𝑔_𝜇𝜈]. 우리는 이제 한 정적인 field와 한 물질의 정적인 분포를 취하면, 𝑣⁰ = 1, 𝑣^𝑚 = 0. 이다. 𝜇 = 𝜈 = 0 으로 놓고 이계 양들을 무시하면, 우리는 다음을 발견한다.                                  -(1/2)𝛻²𝑔₀₀ = (1/2)𝑘𝜌 혹은 (16.6)으로부터                                  𝛻²𝑉 = -(1/2)𝑘𝜌. Poisson 방정식과 일치하려면 우리는 𝑘 = -8π 를 가져야만 한다.
     한 벡터장과 함께 하는 한 물질의 분포의 존재를 위한 Einstein 방정식은 이리하여 다음과 같다.                                      𝑅^𝜇𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑅 = -8π𝜌𝑣^𝜇𝑣^𝜈.                               (25.7) 이리하여 (25.4)로 주어진 𝑇^𝜇𝜈는 정확하게 방정식 (24.6)의 𝑌^𝜇𝜈이다.
        (25.3) 질량 보존을 위하 조건은 다음을 제공한다.                                    𝜌_:𝜇𝑣^𝜇 + 𝜌𝑣^𝜇_:𝜇 = 0; 여기에서                                  𝑑𝜌/𝑑𝑠 = (∂𝜌/∂𝑥^𝜇)𝑣^𝜇 = -𝜌𝑣^𝜇_:𝜇.                               (25.8) 이것은 물질의 한 요소의 세계선을 따라서 어떻게 𝜌가 변화하는가를 교정하는 한 조건이다. 그것은 𝜌가 한 요소의 세계선으로부터 한 근방의 요소의 세계선으로 제멋대로 변화하도록 허용한다. 이리하여 우리는 𝜌를, 시공간의 한 관(tube)을 형성하는 세계선의 한 packet을 제외하고는, 사라지도록 할 수 있겠다. 그러한 packet은 한 한정된 크기의 물질의 한 입자를 구성하기도 한다. 그 입자의 바깥에서는 우리는 𝜌 = 0 를 갖으며 또한 Einstein의 빈 공간을 위한 장방정식이 유효하다.
        만일 누가 그 일반적 장방정식 (25.7)을 가정하면, 그것으로부터 다음 두 가지를 추론할 수 있다는 것을 주목해야 한다: (a) 그 질량은 보존되며 또한 (b) 그 질량은 측지선을 따라서 움직인다. 이것을 위해서는 우리는 Bianchi 관계식으로부터 (좌변)_:𝜈 은 사라지는 것을 주목해야하고, 그래서 그 방정식을 다음을 제공한다.                                  (𝜌𝑣^𝜇𝑣^𝜈)_:𝜈= 0,  혹은                                  𝑣^𝜇(𝜌𝑣^𝜈)_:𝜈 + 𝜌𝑣^𝜇𝑣^𝜈_:𝜈 = 0.                               (25.9) 이 방정식에 𝑣_𝜇를 곱하라. 둘째 항은 (25.2)로부터 영을 주고 우리에게는 (𝜌𝑣^𝜈)_:𝜈 = 0 이 남는데, 그것은 바로 보존 방정식 (25.3)이다. 방정식 (25.9)는 이제 𝑣^𝜇𝑣^𝜈_:𝜈 = 0 으로 축소되는데, 그것은 측지선 방정식이다. 이리하여 한 입자가 한 측지선을 따라 움직인다는 분리된 가정을 할 필요가 없다. 작은 입자와 더불어서는 그 입자 주위의 공간에 대한 Einstein의 빈 공간을 위한 방정식의 적용에 의하여 그 움직임은 한 측지선을 따르는 상태에 있도록 제한된다.

   [comment] 아래첨자 tensor들을 사용하는 'MC Forum 77'  일반상대성(GR) 4: Einstein 장방정식 7-2 내용을 비교-참조하시기 바랍니다.

26. The gravitational action principle 중력의 작용 원리 (pp. 48-50) 


다음의 scalar를 도입하라.                                  𝐼 = ∫ 𝑅√ 𝑑⁴𝑥 = 0.                                (26.1)  위 scalar는 어떤 사차원 부피에다가 적분된 것이다. 그 𝑔_𝜇𝜈안에 𝑔_𝜇𝜈과 그 경계에서 상수인 일계 미분을 유지하는 작은 변분(variations) 𝛿𝑔_𝜇𝜈를 만들라. 우리는 임의의 𝛿𝑔_𝜇𝜈를 위하여 𝛿𝐼 = 0 로 놓으면 Einstein의 진공 방정식을 제공한다는 것을 발견할 것이다.
         우리는 (14.4)로부터 다음을 갖는다.                                  𝑅 = 𝑔^𝜇𝜈𝑅_𝜇𝜈 = 𝑅^* - 𝐿, 거기에서                                  𝑅^* = 𝑔^𝜇𝜈(𝛤^𝜎_{𝜇𝜎,𝜈} - 𝛤^𝜎_{𝜇𝜈,𝜎})                                (26.2) 그리고                                  𝐿 = 𝑔^𝜇𝜈(𝛤^𝜎_𝜇𝜈𝛤^𝜌_𝜎𝜌 - 𝛤^𝜌_𝜇𝜎𝛤^𝜎_𝜈𝜌).                                (26.3)𝐼 는 𝑔_𝜇𝜈의 이계 도함수들을 포함하는데, 이 이계 도함수들이 𝑅^* 안에 나타나기 때문이다. 그러나 그것들은 오직 선형적으로만 발생하므로, 그것들은 부분 적분을 통해서 제거될 수 있다. 우리는 다음을 갖는다.                                  𝑅^*√ = (𝑔^𝜇𝜈𝛤^𝜎_𝜇𝜎√)_,𝜈 - (𝑔^𝜇𝜈𝛤^𝜎_𝜇𝜈√)_,𝜎 - (𝑔^𝜇𝜈√)_,𝜈𝛤^𝜎_𝜇𝜎 + (𝑔^𝜇𝜈√)_,𝜎𝛤^𝜎_𝜇𝜈.                                (26.4) 첫번째 두 항들은 완전한 미분들이므로, 그것들은 𝐼에 아무것도 기여할 것이 없다. 우리는 그러므로 (26.4)의 마지막 두 항들만을 유지할 필요가 있다. (22.5)와 (22.4)의 도움으로 그것들은 다음이 된다.                                  𝑔^𝜈𝛽𝛤^𝜇_𝛽𝜈𝛤^𝜎_𝜇𝜎√ + (-2𝑔^𝜈𝛽𝛤^𝜇_𝛽𝜎 + 𝑔^𝜇𝜈𝛤^𝛽_𝜎𝛽)𝛤^𝜎_𝜇𝜈√. 이것은 (26.3)으로부터 바로 2𝐿√이다. 그래서 (26.1)은 다음이 된다.                                  𝐼 = ∫ 𝐿√ 𝑑⁴𝑥,  위는 오직 그 𝑔_𝜇𝜈와 그들의 일계 도함수만을 포함한다. 그것은 이 첫째 도함수안에서 2차의 동차(homogeneous)이다.
         𝓛 = 𝐿√ 이라고 놓아라. 우리는 이것을 그것을 (나중에 결정될 한 적당한 숫자의 계수와 더불어서) 중력장을 위한 그 작용 밀도로 취한다. 그것은 한 scalar 밀도는 아니다. 그러나 그것은 한 scalar 밀도인 𝑅√보다는 더 편리한데, 왜냐하면 그것이 𝑔_𝜇𝜈의 이계 도함수를 갖지 않기 때문이다.
         동역학의 보통의 idea들에 따르면, 작용이란 그 Lagrangian의 시간 적분이다. 우리는 다음을 갖는다.                                   𝐼 = ∫ 𝓛 𝑑⁴𝑥 = ∫ 𝑑₀𝑥 ∫ 𝓛 𝑑¹𝑥 𝑑²𝑥 𝑑³𝑥 그래서 그 Lagrangian은  명백하게                                  ∫ 𝓛 𝑑¹𝑥 𝑑²𝑥 𝑑³𝑥. 이렇게 𝓛은 (삼차원에서는) Lagrangian 밀도로 이와 함께 (사차원에서는) 작용 밀도로 간주될 수 있겠다. 우리는 𝑔_𝜇𝜈를 동적 좌표로서 그리고 그 시간 도함수를 그 속도로 간주할 수 있겠다. 우리는 그러면 그 Lagrangian을 속도 안의 이차적(비동치적 nonhomogeneous)이라는 것을 아는데, 그것은 보통의 동력학에서는 일반적으로 그러하다.
         우리는 이제 𝓛를 바꾸어야만 한다. 우리는, (20.6)을 사용해서, 다음을 갖는다.            𝛿(𝛤^𝛼_𝜇𝜈 𝛤^𝛽_𝛼𝛽𝑔^𝜇𝜈√) = 𝛤^𝛼_𝜇𝜈 𝛿(𝛤^𝛽_𝛼𝛽𝑔^𝜇𝜈√) + 𝛤^𝛽_𝛼𝛽𝑔^𝜇𝜈√ 𝛿𝛤^𝛼_𝜇𝜈 = 𝛤^𝛼_𝜇𝜈 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√_,𝛼) + 𝛤^𝛽_𝛼𝛽 𝛿(𝛤^𝛼_𝜇𝜈𝑔^𝜇𝜈√) - 𝛤^𝛽_𝛼𝛽 𝛤^𝛼_𝜇𝜈 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√)    = 𝛤^𝛼_𝜇𝜈 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√_,𝛼) - 𝛤^𝛽_𝛼𝛽 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√)_,𝜈 - 𝛤^𝛽_𝛼𝛽 𝛤^𝛼_𝜇𝜈 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√).                                (26.5) 위는 (22.5)의 도움을 받는다. 다시                                  𝛿(𝛤^𝛽_𝜇𝛼 𝛤^𝛼_𝜈𝛽𝑔^𝜇𝜈√) = 2(𝛿𝛤^𝛽_𝜇𝛼)𝛤^𝛼_𝜈𝛽𝑔^𝜇𝜈√ + 𝛤^𝛽_𝜇𝛼 𝛤^𝛼_𝜈𝛽 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√) = 2𝛿(𝛤^𝛽_𝜇𝛼)𝑔^𝜇𝜈√)𝛤^𝛼_𝜈𝛽 - 𝛤^𝛽_𝜇𝛼 𝛤^𝛼_𝜈𝛽 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√)     = -𝛿(𝑔^𝜈𝛽_,𝛼√)𝛤^𝛼_𝜈𝛽 - 𝛤^𝛽_𝜇𝛼 𝛤^𝛼_𝜈𝛽 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√).                                (26.6) 위는 (22.3)의 도움을 받는다. (26.5)로부터 (26.6)을 빼면 , 우리는 다음을 얻는다.                                  𝛿𝓛 = 𝛤^𝛼_𝜇𝜈 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√)_,𝛼 - 𝛤^𝛽_𝛼𝛽 𝛿(𝑔^𝛼𝜈√)_,𝜈 + (𝛤^𝛽_𝜇𝛼 𝛤^𝛼_𝜈𝛽 - 𝛤^𝛽_𝛼𝛽 𝛤^𝛼_𝜇𝜈) 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√).                                (26.7) 여기의 첫번째 두 항은 한 완전한 미분 형식의 차이이다.                                  -𝛤^𝛼_{𝜇𝜈,𝛼} 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√) + 𝛤^𝛽_{𝛼𝛽,𝜈} 𝛿(𝑔^𝛼𝜈√).     그래서 우리는 다음을 얻는다.                                  𝛿𝐼 = 𝛿 ∫ 𝓛 𝑑⁴𝑥 = ∫ 𝑅_𝜇𝜈 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√) 𝑑⁴𝑥,                                (26.8) 위는 (14.4)에 의해 주어진 𝑅_𝜇𝜈와 함께 한다. 임의의 𝛿𝑔^𝜇𝜈와 더불어 양 𝛿(𝑔^𝜇𝜈√)도 역시 독립적이고 또한 임의적이어서, (26.8)이 사라지는 조건은 (24.1) 형식안의 Einstein의 법칙으로 유도된다.
         우리는 (7.9)와 같은 방법으로, 다음을 추론할 수 있다.                                    𝛿𝑔^𝜇𝜈 = -𝑔^𝜇𝛼𝑔^𝜈𝛽 𝛿𝑔_𝛼𝛽.                                (26.9) 또한, 우리는 (20.5)에 부합하도록 다음을 추론한다.                                  𝛿√ = (1/2)√𝑔^𝛼𝛽 𝛿𝑔_𝛼𝛽.                                (26.10) 이리하여                                  𝛿(𝑔^𝜇𝜈√) = -[𝑔^𝜇𝛼𝑔^𝜈𝛽 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑔^𝛼𝛽]√ 𝛿𝑔_𝛼𝛽. 그래서 우리는 (26.8)을, 대안적으로, 다음으로 쓸 수 있다.                                  𝛿𝐼 = - ∫ 𝑅_𝜇𝜈[𝑔^𝜇𝛼𝑔^𝜈𝛽 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑔^𝛼𝛽]√ 𝛿𝑔_𝛼𝛽 𝑑⁴𝑥
                                 =  - ∫ [𝑅^𝛼𝛽 - (1/2)𝑔^𝛼𝛽𝑅]√ 𝛿𝑔_𝛼𝛽 𝑑⁴𝑥.                                (26.11)(26.11)이 사라지는 필요조건은 형식 (24.2)으로 Einstein의 법칙을 제공한다.

    [comment] 작용 원리는 Hamilton의 원리라고도 하며 동역학계가 한 점에서 다른 점으로 이동할 때 실제 경로는 운동 energy에서 potential을 뺀 Lagrangian의 시간 적분이 최소가 되는-그 변분이 0이 되는 경로라고 요약됩니다.

27. The action for a continuous distribution of matter 물질의 연속적 분포를 위한 작용 (pp. 50-54) 

우리는 Section 25에서 한 것처럼, 한 점에서 근방의 점으로 계속적으로 변화하는 속도를 갖는 물질의 한 연속적인 분포를 고려할 것이다. 우리는 다음 형식으로 중력장과 상호 작용하는 이 물질을 위한 하나의 작용 원리를 세울 것이다.                                      𝛿(𝐼_𝑔 + 𝐼_𝑚) = 0.                               (27.1) 여기에서, 작용의 중력적 부분인, 𝐼_𝑔는 어떤 숫자의 계수인 𝜅와 함께하는 앞 section의 그 𝐼이며, 그 작용의 물질 부분인 𝐼_𝑚은 이제 결정될 것이다. 그 조건 (27.1)은 물질의 존재에서의 중력장을 위한 Einstein의 방정식 (25.7)과 그 물질을 위한 운동의 측지선 방정식으로 유도되어야만 한다.
             우리는 그것이 𝐼_𝑚에 어떻게 영향을 주는 가를 알기 위해서 물질의 한 요소의 위치에다 임의의 변분(variations)을 만들 필요가 생길 것이다.만일 우리가, 그 계량 (metric) 𝑔_𝜇𝛼에 대한 어떤 참고도 없이, 순전히 운동학적으로 그 변분을 고려한다면, 그것은 논의를 더욱 분명하게 만든다. 그러면 공변과 반변 vector들 간에 한 실제 구별이 있어서, 우리는 이것에서 다른 것으로 변환할 수 없다. 한 속도는 한 반변벡터 𝑢^𝜇의 성분들의 비로써 기술되고, 또한 그것은 그 계량을 불러들이지 않고는 정규화될(normalized) 수 없다.
             물질의 한 연속적인 흐름과 더불어서 각점에서 우리는 한 속도 vector 𝑢^𝜇(한 미지의 곱의 계수와 더불어)를 갖는다. 우리는 𝑢^𝜇의 방향으로 있으면서 그 공식들에 따라서 그 흐름의 양과 그 속도 두 가지를 결정하는, 한 반변벡터 밀도 𝑝^𝜇를 설정할 수 있어서:                                  𝑝⁰ 𝑑𝑥¹ 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³ 이것는 어떤 시간에서 부피 𝑑𝑥¹ 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³의 요소 내부의 물질의 양이고 또한                                  𝑝¹ 𝑑𝑥⁰ 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³ 이것은 어떤 시간 간격 𝑑𝑥⁰ 동안에 표면 요소 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³를 통해서 흐르는 그 양이다. 우리는 그 물질이 보존된다고 가정할 것이고, 그래서                                  𝑝^𝜇_,𝜇 = 0.                              (27.2)        물질의 각 요소가 작은 𝑏^𝜇와 더불어 𝑧^𝜇에서 𝑧^𝜇 + 𝑏^𝜇로 이동되었다고 가정하도록 하자. 우리는 주어진 한 점 𝑥에서 𝑝^𝜇 내의 그 결과적인 변화를 결정하여야만 한다.
               먼저 𝑏⁰ = 0 인 경우를 취하라. 어떤 한 삼차원 부피 𝑉 내의 물질의 양의 변화는 음(minus)의 𝑉의 경계를 통해 이동된 양이어서:                                  𝛿 ∫_𝑉 𝑝⁰ 𝑑𝑥¹ 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³ = - ∫ 𝑝⁰𝑏^𝑟 𝑑𝑆_𝑟,(𝑟 = 1, 2, 3), 여기서 𝑑𝑆_𝑟은 𝑉의 그 경계 표면의 한 요소를 나타낸다, 우리는 Gauss의 정리에 의하여 우측변을 부피 적분으로 변환할 수 있으며 또한 우리는 다음을 발견한다.                                  𝛿𝑝⁰ = -(𝑝⁰𝑏^𝑟)_,𝑟.                               (27.3)           우리는 이 결과를 𝑏⁰ ≠ 0 인 경우에까지 일반화하여야만 한다. 우리는 만일 𝑏^𝜇가 𝑝^𝜇에 비례한다면, 물질의 각 요소는 그 세계선(world line)을 따라서 이동되며 또한 𝑝^𝜇에는 변화가 없다는 조건을 이용한다. (27.3)의 일반화는 명백하게                                  𝛿𝑝⁰ = -(𝑝^𝑟𝑏⁰ - 𝑝⁰𝑏^𝑟)_,𝑟 왜냐하면 𝑏⁰ = 0 일 때 (27.3)과 일치하며 또한 𝑏^𝜇가  𝑝^𝜇와 비례할 때  𝛿𝑝⁰ = 0를  주기 때문이다. 다른 𝑝^𝜇의 성분들을 위한 해당하는 공식이 있어서, 일반적인 결과는 다음과 같다.                                  𝛿𝑝^𝜇 = -(𝑝^𝜈𝑏^𝜇 - 𝑝^𝜇𝑏^𝜈)_,𝜈.                               (27.4)           물질의 한 영속적인 흐름을 기술하기 위하여 그 양들 𝑝^𝜇은 작용 함수에 사용될 기본 변수이다. 그것들은 공식 (27.4)에 따라서 변하여야만 하고, 또한 그러면, 적당한 부분 적분 후에, 우리는 각 𝑏^𝑟의 계수를 영과 같게 놓아야만 한다. 이것은 우리에게 그 물질을 위한 운동의 방정식을 제공할 것이다.
          질량 𝑚의 격리된 한 입자를 위한 작용은                                  -𝑚 ∫ 𝑑𝑠.                               (27.5) 우리는 특수상대성의 경우를 취함으로써 계수 -𝑚을 위한 필요성을 안다. 그것을 위해서 그 Lagrangian이 (27.5)의 시간 도함수일 수 있겠으니, 즉,                                    𝐿 = -𝑚(𝑑𝑠/𝑑𝑥⁰) = -𝑚[1 - (𝑑𝑥^𝑟/𝑑𝑥⁰) (𝑑𝑥^𝑟/𝑑𝑥⁰)]^1/2, 위는 𝑟 = 1, 2, 3 으로 합계된다. 이것은 운동량을 위해 다음을 제공한다.                                    ∂𝐿/∂(𝑑𝑥^𝑟/𝑑𝑥⁰) = -𝑚(𝑑𝑠/𝑑𝑥⁰)[1 - (𝑑𝑥^𝑛/𝑑𝑥⁰) (𝑑𝑥^𝑛/𝑑𝑥⁰)]^-1/2 = 𝑚(𝑑𝑥^𝑟/𝑑𝑠),  위는 그렇게 되어야 마땅하기 때문이다.
          우리는 𝑚을 𝑝⁰ 𝑑𝑥¹ 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³으로 치환하고 적분함으로써 (27.5)로부터 물질의 한 연속적인 분배를 위한 작용을 얻으며; 이리하여 𝐼_𝑚 = - ∫ 𝑝⁰ 𝑑𝑥¹ 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³ 𝑑𝑠.                               (27.6)     우리는 더욱 이해할 수 있는 형식으로 이것을 구하려면 계량을 사용하고 또한 다음으로 놓는다.                                    𝑝^𝜇 = 𝜌𝜐^𝜇√.                               (27.7) 위에서 는 그 밀도를 결정하는 한 scalar이고 또한 𝜐^𝜇는 길이가 1이 되게 정규화된 앞의 vector 𝑢^𝜇이다. 우리는 다음을 얻는다.                                  𝐼_𝑚 = - ∫ 𝜌√𝜐⁰ 𝑑𝑥¹ 𝑑𝑥² 𝑑𝑥³ 𝑑𝑠 = - ∫ 𝜌√ 𝑑𝑥⁴.                               (27.8) 왜냐하면 𝜐⁰ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥⁰.
          이 작용을 위한 형식은 변분을 적용하기 위하여 적합하지 않으니, 왜냐하면 𝜌, 𝜐^𝜇 등이 독립적인 변수들이 아니기 땨문이다. 우리는 𝑝^𝜇의 용어로서 그것들을 제거해야만 하며, 그러면 그것들은 (27.4)와 일치하여 변화하게 된다. 우리는 (27.7)로부터 다음을 얻는다.                                   (𝑝^𝜇𝑝_𝜇)^1/2 = 𝜌√. 그래서 (27.8)은 다음이 된다.                                  𝐼_𝑚 = - ∫ (𝑝^𝜇𝑝_𝜇)^1/2 𝑑𝑥⁴.                               (27.9) 우리는 이 표현을 변화시키기 위해 다음을 사용한다.             𝛿(𝑝^𝜇𝑝_𝜇)^1/2 = (1/2)(𝑝^𝜆𝑝_𝜆)^-1/2(𝑝^𝜇𝑝^𝜈𝛿𝑔_𝜇𝜈 + 2𝑝_𝜇𝛿𝑝^𝜇)   = (1/2)𝜌𝜐^𝜇𝜐^𝜈√𝛿𝑔_𝜇𝜈 + 𝜐_𝜇𝛿𝑝^𝜇.               작용 원리 (27.1)은 이제, 우리가 거기에 계수 𝜅를 곱한 (26.11)의 도움으로, 다음을 제공한다.                                  𝛿(𝐼_𝑔 + 𝐼_𝑚) = - ∫ 𝜅{𝑅^𝜇𝜈 - (1/2)𝑔^𝜇𝜈𝑅} + (1/2)𝜌𝜐^𝜇𝜐^𝜈]√ 𝛿𝑔_𝜇𝜈 𝑑⁴𝑥 - ∫ 𝜐_𝜇𝛿𝑝^𝜇 𝑑⁴𝑥.                               (27.10)𝛿𝑔_𝜇𝜈의 계수가 영과 같게 함으로써, 우리는 우리가 𝜅 = (16π)^-1 를 취한다면, Einstein의 방정식 (25.7)을 얻는다.  마지막 항은 (27.4)와 더불어서 - ∫ 𝜐_𝜇(𝑝^𝜈𝑏^𝜇 - 𝑝^𝜇𝑏^𝜈)_,𝜈 𝑑⁴𝑥  = - ∫ 𝜐_𝜇,𝜈(𝑝^𝜈𝑏^𝜇 - 𝑝^𝜇𝑏^𝜈) 𝑑⁴𝑥 = - ∫ (𝜐_𝜇,𝜈 - 𝜐_𝜈,𝜇) 𝑝^𝜈𝑏^𝜇 𝑑⁴𝑥= - ∫ (𝜐_𝜇:𝜈 - 𝜐_𝜈:𝜇) 𝜌𝜐^𝜈𝑏^𝜇√ 𝑑⁴𝑥= - ∫ 𝜐_𝜇:𝜈𝜌𝜐^𝜈𝑏^𝜇√ 𝑑⁴𝑥                     (27.11) 위는 (25.2)로부터 이다. 여기서는 𝑏^𝜇의 계수들을 영과 같이 함으로써, 우리는 측지선 방정식 (25.5)를 얻는다.

    [comment] 이제까지의 새로운 전제들이 합쳐져서 모든 것을 종합하여 추론하는 최고 난이도의 내용입니다.

28. The action for the electromagnetic field 전자기장을 위한 작용 (pp. 54-56)

전자기장의 작용 밀도를 위한 보통의 표현은 다음이다.                                  (8π)^-1(𝐸² - 𝐻²).    만일 우리가 Section 23에서 주어진 특수상대성의 사차원의 표기로 그것을 쓴다면, 그것은 다음이 된다.                                 -(16π)^-1𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈,  이것은 다음의 표현으로 유도된다.                                  𝐼_𝑒𝑚 = -(16π)^-1 ∫ 𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈√ 𝑑⁴𝑥.                                 (28.1) 위는 일반상대성에서의 불변량의 작용을 위한 것이다. 여기서 우리는 𝐹_𝜇𝜈 = 𝜅_𝜇,𝜈 - 𝜅_𝜈,𝜇 이며, 그래서𝐼_𝑒𝑚는 그 𝑔_𝜇𝜈와 전자기 potential들의 도함수들의 한 함수라는 것을 고려해야만 한다.
           먼저 그 𝜅_𝜎는 상수로 유지하면서, 그 𝑔_𝜇𝜈를 변화시켜서, 그 𝐹_𝜇𝜈들은 상수이나, 그 𝐹^𝜇𝜈들은 아니게 하도록 하자. 우리는 다음을 갖는다. 𝛿(𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈√ ) = 𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈 𝛿√ + 𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝛼𝛽√ 𝛿(𝑔^𝜇𝛼𝑔^𝜈𝛽)   = (1/2)𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈𝑔^𝜌𝜎√ 𝛿𝑔_𝜌𝜎 - 2𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝛼𝛽√ 𝑔^𝜇𝜌𝑔^𝛼𝜎𝑔^𝜈𝛽 𝛿𝑔_𝜌𝜎   위는 (26.10)과 (26.9)의 도움을 받는다. 이리하여                                  𝛿(𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈√ ) = [(1/2)𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈𝑔^𝜌𝜎 - 2𝐹^𝜌_𝜈𝐹^𝜎𝜈]√ 𝛿𝑔_𝜌𝜎 = 8π𝐸^𝜌𝜎√ 𝛿𝑔_𝜌𝜎,                                 (28.2) 여기서 𝐸^𝜌𝜎는 다음으로 정의되는 한 대칭 tensor인 전자기장의 stress-energy tensor이다.                                  4π𝐸^𝜌𝜎 = -𝐹^𝜌_𝜈𝐹^𝜎𝜈 + (1/4)𝑔^𝜌𝜎𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈.                                 (28.3) 특수상대성에서는 다음인 것을 주목하라.                                  4π𝐸⁰⁰ = 𝐸² - (1/2)[𝐸² - 𝐻²] = (1/2)[𝐸² + 𝐻²], 그래서 𝐸⁰⁰은 energy 밀도이고, 또한                                  4π𝐸⁰¹ = -𝐹⁰₂𝐹¹² - 𝐹⁰₃𝐹¹³ = 𝐸²𝐻³ - 𝐸³𝐻², 그래서 energy의 흐름의 비율을 제공하는 𝐸^0𝑛은 Poyting vector이다.
           만일 우리가 고정된 𝑔_𝛼𝛽 유지하면서, 그 𝜅_𝜇를 변화시킨다면, 우리는 다음을 얻는다.                                  𝛿(𝐹_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈√ ) = 2𝐹^𝜇𝜈√ 𝛿𝐹_𝜇𝜈 = 4𝐹^𝜇𝜈√ 𝛿𝜅_𝜇,𝜈 = 4(𝐹^𝜇𝜈√ 𝛿𝜅_𝜇)_,𝜈 - 4(𝐹^𝜇𝜈√)_,𝜈 𝛿𝜅_𝜇    = 4(𝐹^𝜇𝜈√ 𝛿𝜅_𝜇)_,𝜈 - 4(𝐹^𝜇𝜈_:𝜈√ 𝛿𝜅_𝜇.                                 (28.4) 위는 (21.3)의 도움과 함께 한다.
           (28.2)와 (28.4)를 더하고 -16π로 나누어서, 우리는 전체 변분을 위해서 다음을 얻는다. *                                  𝛿𝐼_𝑒𝑚 = ∫ [-(1/2).𝐸^𝜇𝜈 𝛿𝑔_𝜇𝜈 + (4π)^-1𝐹^𝜇𝜈_:𝜈 𝛿𝜅_𝜇]√ 𝑑⁴𝑥.                                 (28.5)
    [comment] 상대론적 전자기학의 학습이 별도로 필요한 듯 합니다; * 앞에서와 같이 완전한 미분 형식은 𝐼 에 기여하는 바가 없으므로 부분 미분의 차이만 남습니다.