Dirac's General Relativity (3)

15. Einstein's law of gravitation 아인슈타인의 중력법칙 (pp. 25-26)

현재까지는 우리 작업은 (한 입자의 track이 한 측지선이라는 물리적 가정을 외에는) 모두 순수한 수학이었다. 그것은 주로 마지막 세기(19세기)에 행해졌고 또한 임의의 수의 차원에 적용된다. 그 formalism에서 차원의 수가 나타나는 유일한 장소는 나타나는 다음 방정식의 안이다. 𝑔^μ_μ = 차원의 수     Einstein은 빈 공간에서는 다음의 가설을 만들었다. 𝑅_μν = 0.         (15.1) 그것이 그의 중력법칙을 구성한다. 여기서 "빈(empty)"은 아무런 물질이 없으며 또한 중력장 이외에는 아무런 물리적 field(場)들이 없음을 의미한다. 그 중력장은 그 비어있음(emptyness)를 방해하지 않는다. 다른 field들도 그러하다. 그 빈 공간을 위한 조건들은 태양계의 행성 간의 공간을 위해서 한 좋은 근사법(approximation) 안에서 유효하며 또한 거기에 방정식 (15.1)이 적용된다.
    평평한 공간은 명백하게 (15.1)를 만족한다. 그러면 측지선들은 직선이며 또한 그래서 입자들은 직선들을 따라 움직인다. 공간이 평평하지 않은 곳에서는, Einstein의 법칙은 그 곡률에다가 제한들을 가한다. 그 행성들이 측지선을 따라서 움직인다는 가설과 결합하여, 그들의 움직임에 어떤 정보를 제공한다.
    일견으로는 Einstein의 중력법칙은 Newton의 것과 어디도 닮지 않은 것으로 보인다. 한 유사성을 보기 위해서는, 우리는 𝑔_μν를 중력장을 표현하는 potential들로서 관찰해야만 한다. Newton의 이론의 바로 한 potential 대신에 그것들은 열개의 것들이다.그들은 중력장 뿐만 아니라 좌표계도 기술한다. 그 중력장과 그 좌표계는 Einstein의 이론 안에서는 풀 수 없게 섞여져 있어서 또한 사람들은 하나를 다른 것 없이 기술할 수 없다.
    그 𝑔_μν를 potential들로 관찰하면서, 우리는 (15.1)이 장방정식들로 나타남을 발견한다. 그들은 이계(second order)인 물리학의 평범한 장방정식과 닮았는데. 왜나하면 Christoffel 기호들이 일계도함수를 포함하므로 (14.4) 안에서는 이계도함수가 나타나기 때문이다. 그들은 선형적이지 않으므로 평범한 장방정식을 닮지 않았으며; 그로부터 멀다. 그 비선형성은 그 방정식이 복잡하며 또한 정확한 해법들을 얻기가 어렵다.

   [comment] 비로서 Einstein의 중력이론을 개념적인 글로 설명하였는데, 다음 Section의 내용이 쉽지 않음을 예고하는 듯합니다!

16. Newtonian approximation 뉴톤식 근사법 (pp. 26-29)

한 정적인 중력장(static gravitational field)을 고려하고 또한 한 정적인 좌표계에 그것을 참조하도록 하자. 그러면 그 𝑔_μν는 시간에서 상수이므로, 𝑔_μν,0 = 0. 나아가, 우리는 다음을 갖아야만 한다. 𝑔_𝑚0 = 0, (𝑚 = 1, 2, 3). 이것은 다음으로 인도한다. 𝑔^𝑚0 = 0, (𝑚 = 1, 2, 3). 𝑔⁰⁰ = (𝑔₀₀)^-1, 그리고 𝑔^𝑚𝑛는 𝑔_𝑚𝑛의 역행렬이다. 𝑚과 𝑛과 같은 로마자 첨자들은 항상 1, 2, 3 값을 갖는다. 우리는 𝛤_𝑚0𝑛 = 0, 또한 그러므로 𝛤^𝑚_0𝑛 = 0.임을 발견한다.
    빛의 속도에 비교해서, 천천히 움직이는 한 입자를 잡도록 하자. 그러면 𝑣^𝑚는 일차의 한 작은 양이다. 이차 양들을 무시하면, 𝑔₀₀(𝑣⁰)² = 1.         (16.1)     그 입자는 한 측지선을 따라 움직일 것이다. 이차 양들을 무시하면, 방정식 (8.3)은 다음을 부여한다. 𝑑𝑣^𝑚/𝑑𝑠 = -𝛤^𝑚₀₀(𝑣⁰)² = -𝑔^𝑚𝑛𝛤_𝑛00(𝑣⁰)² = (1/2)𝑔^𝑚𝑛𝑔_00,𝑛(𝑣⁰)². 이제 일차로, 𝑑𝑣^𝑚/𝑑𝑠 = (𝑑𝑣^𝑚/𝑑𝑥^μ)(𝑑𝑥^μ/𝑑𝑠) = (𝑑𝑣^𝑚/𝑑𝑥⁰)𝑣⁰ 그래서 𝑑𝑣^𝑚/𝑑𝑥⁰ = (1/2)𝑔^𝑚𝑛𝑔_00,𝑛𝑣⁰ = 𝑔^𝑚𝑛( 𝑔₀₀^1/2)_,𝑛         (16.2) 여기에 (16.1)의 도움을 있다. 그 𝑔_μν들은 𝑥⁰과 독립적이므로, 우리는 여기의 첨자 𝑚를 내릴 수 있고 또한 다음을 얻는다. 𝑑𝑣^𝑚/𝑑𝑥⁰ = (𝑔₀₀^1/2)_,𝑚.         (16.3)*     우리는 그 입자가 한 potential 𝑔₀₀^1/2의 영향 아래에 있는 것처럼 움지이는 것을 본다. 우리는 이 결과를 얻기 위해 Einstein의 법칙을 사용하지 않았다. 우리는 이제, Newton의 것과 비교할 수 있도록, 그 poteintial을 위한 한 조건을 얻기 위하여 Einstein의 법칙을 사용한다.
    중력장이 약해서 공간의 곡률이 작다고 상상하도록 하자. 그러면 우리는 (각각 세 𝑥'의 상수와 함께) 좌표 선들의 곡률이 작도록 우리의 좌표계를 선택할 수 있다. 이런 조건에서는 𝑔_μν는 근사적으로 상수이고, 또한 𝑔_μν,𝜎과 모든 Christoffel 기호들은 작다. 만일 우리가 그들의 일차 양을 계산하고 이차 양들을 무시하면, Einstein의 법칙 (15.1)은, (14.4)로부터 다음이 된다. 𝛤^α_μα,ν - 𝛤^α_μν,α = 0. 우리는 이것은 가장 편리하게는 (11.6)을 교환된 𝜌와 μ로 축약하고 또한 이차 항들은 무시함으로써 값을 구할 수 있다. 그 결과는 다음이다. 𝑔^𝜌𝜎(𝑔_{𝜌𝜎,μν} - 𝑔_{ν𝜎,μ𝜌} - 𝑔_{μ𝜌,ν𝜎} + 𝑔_{μν,𝜌𝜎}) = 0.         (16.4) 이제 μ = ν = 0 로 잡고 그 𝑔_μν가 𝑥⁰과 독립적이라는 조건을 사용하라. 우리는 다음을 얻는다. 𝑔^𝑚𝑛𝑔_00,𝑚𝑛 = 0.         (16.5) d'Alembert 방정식 (10.9)는 그 약한 field 근사법으로는 다음이 된다. 𝑔^μν𝑉_,μν = 0. 정적인 경우에 이것은 Laplace 방정식으로 축소되어 𝑔^𝑚𝑛𝑉_,𝑚𝑛 = 0. 방정식 (16.5)가 바로 우리에게 𝑔₀₀가 Laplace 방정식을 만족하는 것을 말한다.
    우리는 우리의 시간의 단위를 𝑔₀₀가 근사적으로 1(unity)이 되도록 선택할 수 있다. 그러면 우리는 다음을 놓을 수 있다. 𝑔₀₀ = 1 +2𝑉,         (16.6) 거기서 𝑉는 작다. 우리는 𝑔₀₀^1/2 = 1 + 𝑉을 얻고 𝑉는 그 potential이 된다. 그것은 Laplace 방정식을 만족시키므로, Newtonian potential로 동일시 될 수 있어서, 원점에 있는 한 질량을 위한 -𝑚/𝑟과 같다. 그 부호를 검사하기 위하여 우리는 (16.2)가 다음으로 이끄는 것을 본다. 가속도 = -grad 𝑉, 왜냐하면 𝑔^𝑚𝑛은 근사적으로 -1인 대각선 요소들을 갖기 때문이다.
    우리는 Einstein의 법칙이 그 field가 약하고 또한 그것이 정적일 때는 Newton의 법칙으로 가는 것을 본다. 행성들간의 운동을 설명하는 데에서의 성공적인 Newton의 이론이 이렇게 보존될 수 있다. 그 정적인 근사법은 행성들의 속도가 모두 빛의 속도와 비교해서 모두 작기 때문에 좋은 것이다. 약한 filed 근사법은 그 공간이 대단히 평평하기 때문에 좋은 것이다. 크기의 약간의 차수(order)들을 고려해 보자.
    지구의 표면에 있는 2𝑉의 값들은 10^-9의 차수를 갖는 것으로 판명된다. 이렇게 (16.6)에 의한 𝑔₀₀은 1에 대단히 가깝다. 그렇다 하더라도, 1로부터의 그 차이는 우리가 지구에서 보는 그 중요한 중력효과를 생산하기에 충분히 크다. 지구의 반경의 차수를 10⁹cm로 잡으면, 우리는 𝑔_00,𝑚𝑛은 차수 10^-18cm^-1임을 발견한다. 평평함으로부터의 이탈은 이렇게 극히 작다. 그렇지만, 이것은 빛의 속도의 제곱, 즉, 9 * 10²⁰ (cm/sec)을 곱하여야 하고, 지구의 표면에서의 중력에 기인하는 가속도를 부여한다. 평평함에서의 이탈이 아주 너무 작아서 직접적으로 관찰될 수 없다하더라도, 이렇게 약 10³ cm/sec인 이 가속도는 상당히 감지할 수 있다.

   [comment] 필요시 상세한 Richard Faber의 일반상대성(이하 GR)의 '장방정식' 'MC Forum 77'과 '만유인력의 법칙' 'MC Forum 79'를 참고하시기 바랍니다.
    * 원문 (16.3)의 𝑑𝑣_𝑚은 오타로 생각되어서 𝑑𝑣^𝑚으로 수정했습니다.

17. The gravitational red shift 중력 적색편이 (p. 29)

또다시 한 정적인 중력장 속에서 단색의 복사선을 방사하는 정지된 한 원자를 고려하도록 하자. 그 빛의 파장은 한 정해진 Δ𝑠에 대응할 것이다.그 원자는 정지해 있으므로, 우리가 Section 16에서 사용했던 것같은 한 정적인 좌표계로서는, 우리는 다음을 갖는다. Δ𝑠² = 𝑔₀₀(Δ𝑥⁰)², 거기에서 Δ𝑥는 주기(period)이다, 즉, 우리의 정적인 좌표계에 참조된 연속적인 마루(crest)들 사이의 시간이다.
    만일 그 빛이 다른 장소로 이동한다면, Δ𝑥 ⁰는 상수로 남을 것이다. Δ𝑠도 역시 같지 않은, 한 국지적(local) 원자에 의해 방출되는 spectral 선의 주기와 Δ𝑥⁰는 같지 않을 것이다. 그 주기는 이렇게 그 빛이 방사되는 장소의 중력 potential 𝑔₀₀에 의존하여: Δ𝑥⁰::𝑔₀₀^-1/2. 그 spectral 선은 이 요소 𝑔₀₀^-1/2에 의해 편이(shift)가 생긴다.
    만일 우리가 Newton식 근사법 (16.6)을 사용하면, 우리는 다음을 갖는다. Δ𝑥⁰::1 - 𝑉. 태양의 표면과 같이 한 강한 중력장의 장소에는 𝑉는 음이 될 것이고, 그래서 지구 표면에서 대응하는 빛과 비교했을 때는 그곳에서 방사된 빛은 적색편이(red-shift)가 될 것이다. 그 효과가 태양의 빛에서 관찰될 수 있지만, 방사하는 원자들의 움직임으로부터 생기는 Doppler 효과와 같은 다른 물리적 효과에 의해서 감춰진다. 그것은 한 백색왜성(white dwarf star)으로 방출되는 빛에서 더 잘 관찰되는데, 거기에서는 그 별의 물질의 높은 밀도가 그 표면에서 한 훨씬 강한 중력 potential을 형성한다.

   [comment] 파장이 길어지면 적색편이가 생깁니다; 수식 내의 ::는 이중 점곱(double dot product)이며, 위 식들의 엄밀한 추론은 일단 유보합니다.

18. Schwartzschild solution 슈바르츠쉴트 해 (pp. 30-32)

빈 공간을 위한 Einstein 방정식은 비선형적이고 또한 그러므로 대단히 복잡하며, 또한 그들의 정확한 해를 구하기가 어렵다. 그렇지만, 지나치게 많은 어려움 없이 풀을 수 있는 하나의 특별한 경우가 있으니; 즉, 한 정지 상태의 구형 대칭적 물체에 의해 만들어진 그 정적인 구형 대칭적인 field이다.
    그 정적인 조건은, 한 정적인 좌표계로서, 그 𝑔_𝜇𝜈는 시간 𝑥⁰이나 𝑡으로부터 독립적이며 또한 역시 𝑔_0𝑚 = 0 이다. 그 특별한 좌표계는 𝑥¹ = 𝑟, 𝑥² = 𝜃, 𝑥³ = 𝜙 인 구면좌표계로 취해질 수 있다. 구형 대칭과 호환되는 𝑑𝑠²를 위한 가장 일반적인 형태는 𝑑𝑠² = 𝑈 𝑑𝑡² - 𝑉 𝑑𝑟² - 𝑊 𝑟²(𝑑𝜃² + sin²𝜃 𝑑𝜙²), 여기에서 𝑈, 𝑉와 𝑊는 오직 𝑟의 함수들이다. 우리는 구형대칭을 방해하지 않고 𝑟을 임의의 𝑟의 함수로 대치할 수도 있다. 우리는 이 자유를 가능한 만큼 사정을 단순화하는 데 사용하고, 그래서 가장 편리한 정돈은 𝑊 = 1을 갖는 것이다. 그러면 𝑑𝑠²를 위한 표현은 다음으로 쓸 수 있다. 𝑑𝑠² = 𝑒^2𝜈 𝑑𝑡² - 𝑒^2𝜆 𝑑𝑟² - 𝑟²𝑑𝜃² - 𝑟²sin²𝜃 𝑑𝜙²,        (18.1) 거기에서 함께한 𝜈과 𝜆는 오직 𝑟의 함수이다. 그것들은 Einstein 방정식들을 만족하도록 선택되어야만 한다.
    우리는 (18.1)로부터 𝑔_𝜇𝜈의 값을 읽을 수 있다, 즉, 𝑔₀₀ = 𝑒^2𝜈,    𝑔₁₁ = -𝑒^2𝜆,    𝑔₂₂ = -𝑟²,     𝑔₃₃ = -𝑟²sin²𝜃,    그리고 𝑔_𝜇𝜈 = 0, for 𝜇 ≠ 𝜈. 우리는 다음을 발견한다. 𝑔⁰⁰ = 𝑒^-2𝜈,    𝑔¹¹ = -𝑒^-2𝜆,    𝑔²² = -𝑟^-2,    𝑔³³ = -𝑟^-2sin^-2𝜃,    그리고 𝑔^𝜇𝜈 = 0, for 𝜇 ≠ 𝜈.
    이제 모든 Christoffel 기호들 𝛤^𝜎_𝜇𝜈의 계산이 필요하다. 그것들 중 많은 것들이 사라진다. 그헣지 않은 것들은 다음이며, prime은 𝑟에 대해서의 미분을 표시한다. 𝛤¹₀₀ = 𝜈'𝑒^{2𝜈 -2𝜆}     𝛤⁰₁₀ = 𝜈'     𝛤¹₁₁ = 𝜆'     𝛤²₁₂ = 𝛤³₁₃ = 𝑟^-1 𝛤¹₂₂ = -𝑟𝑒^-2𝜆     𝛤³₂₃ = cot 𝜃     𝛤¹₃₃ = -𝑟 sin²𝜃 𝑒^-2𝜆     𝛤²₃₃ = -sin 𝜃 cos 𝜃. 이들 표현들은 (14.4)에 대입될 것이다. 그 결과는, 다른 사라진 𝑅_𝜇𝜈의 성분들과 더불어, 𝑅₀₀ = (-𝜈" + 𝜆'𝜈' - 𝜈'² - 2𝜈'/𝑟)𝑒^{2𝜈 -2𝜆},         (18.2) 𝑅₁₁ = 𝜈" - 𝜆'𝜈' + 𝜈'² - 2𝜆'/𝑟        (18.3) 𝑅₂₂ = (1 + 𝑟𝜈' - 𝑟𝜆')𝑒^-2𝜆 - 1        (18.4) 𝑅₃₃ = 𝑅₂₂ sin²𝜃.     Einstein의 중력법칙은 이 표현들이 사리지기-영이 되기를 필요로 한다. 그 영이 된 (18.2)과 (18.3)은 다음으로 유도한다. 𝜆' + 𝜈' = 0. 𝑟의 커다란 값으로 인해 그 공간은 근사적으로 평평하므로, 𝑟 → ∞처럼 𝜆와 𝜈는 모두 영으로 도달한다. 그것은 다음이 된다. 𝜆 + 𝜈 = 0. 영이 된 (18.4)는 이제 다음을 부여한다. (1 + 2𝑟𝜈')𝑒^2𝜈 = 1 혹은 (𝑟𝑒^2𝜈)' = 1 이리하여 𝑟𝑒^2𝜈 = 𝑟 -2𝑚, 그곳에서 𝑚은 한 적분의 상수이다. 이것은 역시 (8.2)와 (8.3)을 사라지게 만든다. 우리는 이제 다음을 얻는다. 𝑔₀₀ = 1 - 2𝑚/𝑟,         (18.5)
    Newton식 근사법은 커다란 𝑟의 숫자를 위하여 유효해야만 한다. (18.5)를 (16.6)과 비교하면, 우리는 (18.5) 안의 적분의 상수 𝑚이 바로 중력장을 생성하는 그 중앙의 물체의 질량이라는 것을 안다.
    완전한 해는 𝑑𝑠² = (1 - 2𝑚/𝑟) 𝑑𝑡² - (1 - 2𝑚/𝑟)^-1 𝑑𝑟² - 𝑟²𝑑𝜃² - 𝑟²sin²𝜃 𝑑𝜙².         (18.6) 그것은 Schwartzschild 해로 알려진다. 그것은 아무런 물질이 없는 그 field를 생성하는 그 물체의 표면 밖에서 유효하다. 이렇게 그것은 한 별의 표면의 밖에서는 상당히 정확하게 유효하다.
    그 해 (18.6)은 태양 주위의 행성의 움직임에 대한 Newton식 이론에 작은 수정들을 유도한다. 이 수정들은 오직 가장 근접한 행성인 수성의 경우에만 감지할 수 있으며, 그리고 그것들은 Newton식 이론과 이 행성의 움직임의 모순을 설명한다. 이리하여 그것들은 하나의 충격적인 Einstein 이론의 확증을 제공한다.

   [comment] 적분의 상수 𝑚은 (16.6)과 연관된 것으로서, Richard Faber's GR의 '장방정식' 'MC Forum 77' [7-121] [7-135]에 자세한 추론이 있습니다.

19. Black holes 블랙홀 (pp. 32-36)

해 (18.6)은 𝑟 = 2𝑚에서 특이하게(singular) 된다, 왜냐하면 그러면 𝑔₀₀ = 0 이고 또한 𝑔₁₁ = - ∞ 이기 때문이다. 그것은 𝑟 = 2𝑚 가 질량 𝑚인 한 물체를 위한 한 최소 반지름을 제공하는 듯할 것이다. 그러나 한 면밀한 검토는 이것이 그렇지 않음을 보여준다.
        한 입자가 그 중심 물체로 떨어진다고 생각하라 그리고 그 속도 vector를 𝑣^𝜇 = 𝑑𝑧^𝜇/𝑑𝑠 라 하자. 그것이 방사상으로 떨어진다고 상상하자, 그러면 𝑣² = 𝑣³ = 0. 그 운동은 측지선 방정식 (8.3)에 의하여 결정되어:                                  𝑑𝑣⁰/𝑑𝑠 = - 𝛤⁰_𝜇𝜈𝑣^𝜇𝑣^𝜈 = -𝑔⁰⁰𝛤_0𝜇𝜈𝑣^𝜇𝑣^𝜈 = -𝑔⁰⁰𝑔_00,1𝑣⁰𝑣¹ = -𝑔⁰⁰(𝑑𝑔₀₀/𝑑𝑠)𝑣⁰.    이제 𝑔⁰⁰ = 1/𝑔₀₀, 그래서 우리는 다음을 얻는다.                                  𝑔₀₀(𝑑𝑣⁰/𝑑𝑠) + (𝑑𝑔₀₀/𝑑𝑠)𝑣⁰ = 0.  이것은 상수 𝑘를 갖는 다음식으로 적분된다.                                  𝑔₀₀𝑣⁰ = 𝑘, 그것은 그 입자가 떨어지기 시작하는 곳에서의 𝑔₀₀ 값이다.      다시, 우리는 다음을 갖는다.                                  1 = 𝑔_𝜇𝜈𝑣^𝜇𝑣^𝜈 = 𝑔₀₀(𝑣⁰)² + 𝑔₁₁(𝑣¹)².  이 방정식에 𝑔₀₀를 곱하고  마지막 section에서 얻은 𝑔₀₀𝑔₁₁ = 1 을 사용하면, 우리는 다음을 발견한다.                                  𝑘² - (𝑣¹)² = 𝑔₀₀ = 1 - 2𝑚/𝑟.  떨어지는 물체에서는 𝑣¹ < 0 이므로                                  𝑣¹ = -(𝑘² - 1 + 2𝑚/𝑟)^1/2.             이제                                  𝑑𝑡/𝑑𝑟 = 𝑣⁰/𝑣¹ = -𝑘(1 - 2𝑚/𝑟)^-1(𝑘² - 1 + 2𝑚/𝑟)^-1/2.      그 입자가 임계 반경에 가깝다고 가정하고, 작은 𝜖와 함께하는 𝑟 = 2𝑚 + 𝜖 이고, 𝜖²를 무시하도록 하자. 그러면                                  𝑑𝑡/𝑑𝑟 = -2𝑚/𝜖 = -2𝑚/(𝑟 - 2𝑚).    이것은 다음으로 적분된다.                                  𝑡 = -2𝑚 log(𝑟 - 2𝑚) + constant.     이리하여, 𝑟 → 2𝑚 하면, 𝑡 → ∞ 이다. 그 입자는 임계 반경 𝑟 = 2𝑚 에 도달하기 위해서는 어떤 무한한 시간이 걸린다.
        그 입자가 한 spectral 선의 빛을 방사하고, 또한 한 큰 값의 𝑟에 있는 어떤 사람에 의해 관찰된다고 가정하도록 하자. 그 빛은 인자 𝑔₀₀^-1/2 = (1 - 2𝑚/𝑟)^-1/2 에   의해서 적색편이된다. 그 인자는 그 입자가 임계 반경에 접근하면 무한값이 된다. 그 입자가 𝑟 = 2𝑚 에 접근하면 그것의 모든 물리적 과정들이 점점 더 천천히 진행하는 것으로 관찰될 것이다.
           이제는 그 입자와 함께 여행하는 한 관찰자를 생각하라. 그의 시간 축척은 𝑑𝑠에 의해서 측정된다. 이제는                                  𝑑𝑠/𝑑𝑟 = 1/𝑣¹ = -(𝑘² - 1 + 2𝑚/𝑟)^-1/2,    그래서 𝑟이 2𝑚에 향하면 이것은 -𝑘로 향한다. 이렇게 그 관찰자에게는 유한한 고유시간(proper time)의 간격 후에 그 입자는 𝑟 = 2𝑚 에 도달한다. 이렇게 그 여행하는 관찰자가 𝑟 = 2𝑚 에 도달할 때 그는 유한 시간만큼만 나이를 먹는다. 그 후에는 그에게 무슨 일이 일어날까? 그는 더 작은 값들의 𝑟로 빈 공간을 통해 여정을 계속할 수 있다.
        𝑟 < 2𝑚 인 값들을 위한 그 Schwarzschild 해를 계속을 검토하려면, 우리는 한 비정적(nostatic) 좌표계를 사용할 필요가 있으며, 그러면 우리는 시간 좌표와 더불어 변화하는 𝑔_𝜇𝜈를 갖는다. 우리는 바뀌지 않은 𝜃와 𝜙의 좌표들은 유지하지만, 그러나 우리는 𝑡와 𝑟대신에 다음식들에 의해 정의되는  𝜏와 𝜌를 사용한다.                                  𝜏 = 𝑡 + 𝑓(𝑟),   𝜌 = t + 𝑔(𝑟).                              (19.1)         우리는 𝑟에 대한 도함수를 표시하기 위해서 prime(')을 다시 사용하며, 다음을 갖는다.                                  𝑑𝜏² - (2𝑚/𝑟) 𝑑𝜌² = (𝑑𝑡 + 𝑓' 𝑑𝑟)² - (2𝑚/𝑟) (𝑑𝑡 + 𝑔' 𝑑𝑟)²                                                   = (1 - 2𝑚/𝑟)𝑑𝑡² + 2[𝑓' - (2𝑚/𝑟)𝑔']𝑑𝑡𝑑𝑟 + [𝑓'² - (2𝑚/𝑟)𝑔'²]𝑑𝑟²                                                       = (1 - 2𝑚/𝑟)𝑑𝑡² + (1 - 2𝑚/𝑟)^-1𝑑𝑟²,                              (19.2) 함수들 𝑓와 𝑔가 다음 두식들을 만족시키도록 선택하도록 한 경우를 가정한다.                                  𝑓' = (2𝑚/𝑟)𝑔'.                              (19.3) 그리고                                  (2𝑚/𝑟)𝑔'² - 𝑓'² = (1 - 2𝑚/𝑟)^-1.                              (19.4) 이 방정식들로부터 𝑓의 소거는 다음을 부여한다.                                  𝑔' = (𝑟/2𝑚)^1/2 (1 - 2𝑚/𝑟)^-1.                              (19.5) 이 방정식을 적분하기 위해서, 𝑟 = 𝑦² 그리고 2𝑚 = 𝑎² 로 놓아라. 우리는 𝑟 > 2𝑚 와 더불어 𝑦 > 𝑎 를 갖는다. 우리는 이제 다음을 갖는다.                                  𝑑𝑔/𝑑𝑦 = 2𝑦 𝑑𝑔/𝑑𝑟 = (2𝑦²/𝑎)[1/(𝑦⁴ - 𝑎²],  그것은 다음을 부여한다.                                  𝑔 = (2/3𝑎) 𝑦² + 2 𝑎𝑦 - 𝑎² log  (𝑦 + 𝑎)/ (𝑦 - 𝑎).                              (19.6) 마지막으로, 우리는 (19.3)과 (19.5)로부터 다음을 얻는다.                                  𝑔' - 𝑓' = (1 - 2𝑚/𝑟)𝑔' = (𝑟/2𝑚)^1/2,    그것은 다음으로 적분된다.                                  (2/3)(1/√2𝑚) 𝑟^2/3 = 𝑔 - 𝑓 = 𝜌 - 𝜏.                              (19.7) 이리하여                                  𝑟 = 𝜇(𝜌 - 𝜏)^2/3, 여기서 𝜇 = [(3/2)√2𝑚]^2/3.                              (19.8)         이 방법으로 우리는 그 조건 (19.3)과 (19.4)를 만족시켜서 우리가 (19.2)를 사용할 수 있음을 본다. Schwarzschid 해 (18.6)으로 치환하면, 우리는 다음을 얻는다.                                  𝑑𝑠² = 𝑑𝜏² - [2𝑚/{𝜇(𝜌 - 𝜏)^2/3}] 𝑑𝜌² - 𝜇²(𝜌 - 𝜏)^4/3(𝑑𝜃² + sin²𝜃 𝑑𝜙²).                              (19.9) 임계값 𝑟 = 2𝑚 은, (19.7)로부터, 𝜌 - 𝜏 = 4𝑚/3에 해당한다. 그 계량 (19.9) 안에는 어떤 특이점(singularity)도 없다.
        우리는 그 계량 (19.9)가 𝑟 > 2𝑚 인 빈 공간을 위해서 Einstein 방정식들을 만족하는 것을 안다. 왜냐하면 그것은 한 좌표의 변화만으로 Schwartzschid 해로 변환될 수 있기 때문이다. 우리는 해석적 연속성으로부터 그것이 𝑟 ≤ 2𝑚 에서도 역시 Einstein 방정식들을 만족시킨다고 추론할 수 있다. 왜냐하면 𝑟 = 2𝑚 에서 그것은 어떤 특이점도 포함하지 않기 때문이다. 그것은 계속해서 𝑟 = 0 혹은 𝜌 - 𝜏 = 0 까지도 잘 유지할 수 있다.
        그 특이점은 원래 좌표인 방정식 (19.1)와 새로운 좌표들의 연결에서 나타난다. 그러나 일단 우리가 새 좌표계를 구축하면 우리는 전의 것을 버릴 수 있으며 또한 그 특이점은 더 이상 나타나지 않는다.
             우리는 빈 공간을 위한 Schwarzschild 해가  𝑟 < 2𝑚 인 지역까지도 연장될 수 있음을 본다. 그러나 이 지역은 𝑟 > 2𝑚 인 공간과 소통할 수 없다. 우리가 쉽게 검사할 수 있듯이, 어떤 신호, 한 빛 신호 조차도, 그 경계 𝑟 = 2𝑚 를 넘는데 무한한 시간이 걸릴 것이다. 이렇게 우리는 지역 𝑟 < 2𝑚 의 직접적인 관측적 지식을 가질 수 없다. 그러한 지역은 한 black hole이라 불린다. 왜냐하면 사물이 그 속으로 떨어질 수는 있지만, (그렇게 하기 위해서는 우리 시계로는 무한한 시간이 걸려서)   아무것도 나옳 수는 없기 때문이다. 
          그러한 지역이 실제 존재하는가에 관한 질문이 생긴다. 우리가 분명하게 말할 수 있는 것은 Einstein 방정식들이 그것을 허용한다는 것이다. 한 무겁고 거대한 성상 물체가 아주 작은 반경으로 붕괴할 수 있고 그러면 그 중력적 힘이 아주 강해져서 어떠한 물리적 힘들도 그것들을 검사하고 유지하면서 더이상 붕괴하지 않도록 할 수 없을 것이다. 그것은 한 black hole 속으로 붕괴하여만 하는 것처럼 여겨진다. 그것이 그렇게 하는데 우리의 시계로는 어떤 무한한 시간이 걸리지만, 붕괴하는 물질 자체에게는 상대적으로 오직 어떤 유한한 시간이 걸릴 뿐이다. 

      [comment] 이상은 Dirac의 특이점(singularity)이 없는 black hole 이론으로서 간결하고 아름다운데, 추후에 다른 이론들과의 비교가 필요해 보입니다.

20. Tensor density 텐서 밀도 (pp. 36-37) 

좌표의 변환과 더불어, 사차원 부피의 한 요소는 다음의 법칙에 따라서 변환한다.                                  𝑑𝑥^0'𝑑𝑥^1'𝑑𝑥^2'𝑑𝑥^3' = 𝑑𝑥⁰𝑑𝑥¹𝑑𝑥²𝑑𝑥³ 𝐽.                              (20.1) 여기에서 𝐽는 그 Jacobian이다.                                  𝐽 = ∂(𝑥^0'𝑥^1'𝑥^2'𝑥^3') / ∂(𝑥⁰𝑥¹𝑥²𝑥³) = determinant of 𝑥^𝜇'_,𝛼. 우리는 (20.1)을 다음으로 쓸 수 있다.                                  𝑑⁴𝑥' = 𝐽 𝑑⁴𝑥                              (20.2) 이는 간결성을 위해서 이다.
        이제                                  𝑔_𝛼𝛽 = 𝑥^𝜇'_,𝛼 (𝑔_𝜇'𝜈') 𝑥^𝜈'_,𝛽.     우리는 우측편을 세개의 행렬들의 곱으로 관찰할 수 있으니, 첫번째 행렬은 𝛼로 열거되는 열들과  𝜇'로 열거되는 행들이고, 두번째 행렬은 𝜇'로 열거되는 열들과   𝜈'로 열거되는 행들이고, 세번째 행렬은 𝜈'로 열거되는 열들과  𝛽로 열거되는 행들이다. 이 곱은 좌측의 행렬 𝑔_𝜇'𝜈'과 같다. 그 해당하는 방정식은 그 determinant들 간에서 유효해야 하고; 이리하여                                  𝑔 = 𝐽 𝑔' 𝐽    혹은                                  𝑔 = 𝐽² 𝑔'. 이제 𝑔가 한 음의 양이어서, 우리는 √-𝑔 를 형성해서, 루트값은 양의 값을 가지도록 한다. 그래서,                                  √-𝑔 = 𝐽 √-𝑔'.                              (20.3)         𝑆를 한 스칼라장 양이라고 가정하면, 𝑆 = 𝑆'. 그러면                                    ∫ 𝑆 (√-𝑔) 𝑑⁴𝑥 = ∫ 𝑆 (√-𝑔') 𝐽 𝑑⁴𝑥 = ∫ 𝑆' (√-𝑔') 𝑑⁴𝑥',  만일 𝑥'를 위한 적분이 𝑥를 위한 적분과 일치한다면 위와 같다. 이리하여                                  ∫ 𝑆 (√-𝑔) 𝑑⁴𝑥 = 불변량.                              (20.4) 우리는 𝑆 √-𝑔를 한 scalar 밀도라고 부르며, 적분이 불변인 하나의 양을 의미한다.         유사하게, 임의의 텐서장 𝑇^𝜇𝜈...를 위하여 우리는 𝑇^𝜇𝜈... √-𝑔을 한 tensor 밀도라고 부를 수 있다. 그 적분                                  ∫ 𝑇^𝜇𝜈 (√-𝑔) 𝑑⁴𝑥     위는 만일 그 적분의 영역이 작다면 한 tensor 밀도이다. 만일 그 적분의 영역이 작자 않다면 그것은 한 tensor 밀도가 아니다. 왜냐하면 그러면 그것이 다른 점들에 위치한 tensor들의 합으로 구성되어서 한 좌표 변환 하에서 그것이 임의의 단순한 방식으로 변환하지 않기 때문이다.
        그 양 √-𝑔는 미래에 대단히 많이 쓰일 것이다. 간소화를 위해서 우리는 그것을 단순히 √ 로 쓸 것이다. 우리는 다음을 갖는다.                                  𝑔^-1𝑔_,𝜈 = 2√^-1√_,𝜈.     이리하여 공식 (14.5)는 다음을 부여한다.                                  √_,𝜈 = (1/2)√ 𝑔^𝜆𝜇_{𝜆𝜇,𝜈}                              (20.5) 그리고 공식 (14.6)은 다음으로 쓸 수 있다.                                  √ 𝛤^𝜇_𝜈𝜇 = √_,𝜈.                              (20.6)
    [comment] 불변량으로서의 tensor 밀도는 앞으로 나오는 작용 원리의 핵심이 됩니다.

   21. Gauss and Stokes theorems (pp. 38-40) 

Vector 𝛢^𝜇는 한 scalar인 공변적 발산(divergence) 𝛢^𝜇_:𝜇를 갖는다. 우리는 다음을 갖는다.                                  𝛢^𝜇_:𝜇 = 𝛢^𝜇_,𝜇 + 𝛤^𝜈_𝜈𝜇𝛢^𝜈 = 𝛢^𝜇_,𝜇 + √^-1√_,𝜈𝛢^𝜈.  이리하여                                  𝛢^𝜇_:𝜇√ = (𝛢^𝜇√)_,𝜇.                              (21.1)         우리는 (20.4)에 있는 𝑆 대신에 𝛢^𝜇_:𝜇를 넣을 수 있으며, 그러면 우리는 그 불변량을 얻어서                                  ∫ 𝛢^𝜇_:𝜇 √ 𝑑⁴𝑥 = ∫ (𝛢^𝜇√)_,𝜇 𝑑⁴𝑥.     만일 그 적분이 한 유한한 (사차원의) 부피에 적용된다면, 그 우측 변은 Gauss의 정리에 의하여 그 부피의 (삼차원의) 경계 표면(boundary surface)에의 적분으로 전환될 수 있다.
        만일 𝛢^𝜇_:𝜇 = 0, 우리는 다음을 갖는다.                                  (𝛢^𝜇√)_,𝜇 = 0.                              (21.2) 그리고 이것은 우리에게 한 보존 법칙을 제공하니; 즉, 한 밀도가 𝛢⁰√이고 그 흐름이 vector 𝛢^𝑚√ (𝑚=1,2,3)으로 주어지는 한 유체의 보존을 말한다. 그것은 한 정해진 시간 𝑥⁰에 머물러 있는 한 삼차원의 부피 𝑉 위에다가 (21.2)를 적분할 수 있겠다. 그 결과는 다음이다.                                  (∫𝛢⁰ (√) 𝑑³𝑥)_,0) = ∫𝛢^m (√) 𝑑³𝑥)_,m                                                      = 𝑉의 경계 위의 면적분  만일 𝑉의 경계를 지나는 전류가 없으면,  ∫𝛢⁰ (√) 𝑑³x 는 상수이다.
        한 vector 𝛢^𝜇를 위한 이 결과는, 일반적으로, 한 첨자 이상의 tensor에게는 인계될 수 없다. 한 두개의 첨자를 갖는 tensor 𝑌^𝜇𝜈를 취하라. 우리는 평평한 공간에서는 ∫ 𝑌^𝜇𝜈_,𝜈 𝑑⁴𝑥 를 표현하기 위해서 한 면적분으로 Gauss의 정리를 사용할 수 있으나, 굽은 공간에서 우리는 일반적으로 ∫ 𝑌^𝜇𝜈_:𝜈 𝑑⁴𝑥 를 한 면적분으로 표현할 수 없다. 한 반대칭을 위한 tensor 𝐹^𝜇𝜈 = -𝐹^𝜈𝜇 를 위해서는 한 예외가 발생한다.
        이 경우에는 다음을 갖는다.                                  𝐹^𝜇𝜈_:𝜎 = 𝐹^𝜇𝜈_,𝜎 + 𝛤^𝜇_𝜎𝜌𝐹^𝜌𝜈 +  𝛤^𝜈_𝜎𝜌𝐹^𝜇𝜌, 그래서                                  𝐹^𝜇𝜈_:𝜈 = 𝐹^𝜇𝜈_,𝜈 + 𝛤^𝜇_𝜈𝜌𝐹^𝜌𝜈 +  𝛤^𝜈_𝜈𝜌𝐹^𝜇𝜌,                                       = 𝐹^𝜇𝜈_,𝜈 + 𝛤^𝜇_𝜈𝜌𝐹^𝜌𝜈 + √^-1√_,𝜌𝐹^𝜇𝜌, 위는 (20.6)으로부터이다. 이리하여                                  𝐹^𝜇𝜈_:𝜈√ = (𝐹^𝜇𝜈√)_,𝜈.                              (21.3) 여기에서 ∫ 𝐹^𝜇𝜈_:𝜈√ 𝑑⁴𝑥 = 한 면적분 이고, 또한 만일 𝐹^𝜇𝜈_:𝜈 = 0 이면, 우리는 한 보전 법칙을 갖는다.
        대칭적 𝛶^𝜇𝜈 = 𝛶^𝜈𝜇 인 경우에는, 우리가 한 위첨자와 아래첨자를 넣어서 𝛶_𝜇^𝜈_:𝜈 가정하면, 한 별도 항이 있는 한 해당 방정식을 얻을 수 있다. 우리는 다음을 갖는다.                                        𝛶_𝜇^𝜈_:𝜎 = 𝛶_𝜇^𝜈_,𝜎 - 𝛤^𝛼_𝜇𝜎𝛶_𝛼^𝜈 + 𝛤^𝜈_𝜎𝛼𝛶_𝜇^𝛼. 𝜎 = 𝜈 로 두고 (20.6)을 사용하면, 우리는 다음을 얻는다.                                  𝛶_𝜇^𝜈_:𝜈 = 𝛶_𝜇^𝜈_,𝜈 + √^-1√_,𝛼𝛶_𝜇^𝛼 - 𝛤_𝛼𝜇𝜈𝛶^𝛼𝜈. 𝛶^𝜇𝜈이 대칭이므로, 우리는 마지막 항에 있는 그 𝛤_𝛼𝜇𝜈를 다음으로 대체할 수 있다.                                  (1/2)(𝛤_𝛼𝜈𝜇 + 𝛤_𝜈𝛼𝜇) = (1/2)𝑔_{𝛼𝜈,𝜇} 이는 (7.6)으로부터이다. 이리하여 우리는 다음을 얻는다.                                  𝛶_𝜇^𝜈_:𝜈√ = (𝛶_𝜇^𝜈√ )_,𝜈 - (1/2)𝑔_{𝛼𝛽,𝜇}𝛶^𝛼𝛽√ .                              (21.4)         한 공변벡터 𝛢_𝜇를 위해서 우리는 다음을 갖는다.                                  𝛢_𝜇:𝜈 - 𝛢_𝜈:𝜇 = 𝛢_𝜇,𝜈 - 𝛤^𝜌_𝜇𝜈𝛢_𝜌 - (𝛢_𝜈,𝜇 - 𝛤^𝜌_𝜈𝜇𝛢_𝜌) = 𝛢_𝜇,𝜈 - 𝛢_𝜈,𝜇.                              (21.5) 이 결과는 아음으로 언급될 수 있다: 공변적 회전(curl)은 일반 회전과 동일하다. 그것은 오직 한 공변벡터를 위해서만 유효하다. 한 반변벡터의 경우에는 첨자들이 균형을 이루지 않아서 그 회전을 형성하지 않는다.
        𝜇 =1, 𝜈 = 2 로 잡도록 하자. 우리는 다음을 얻는다.                                    𝛢_1:2 - 𝛢_2:1 = 𝛢_1,2 - 𝛢_2,1. 이 방정식을 𝑥⁰ = constant, 𝑥³ = constant 인 표면의 한 면적 위에 적분을 하자. Stokes의 정리로부터 우리는 다음을 얻는다.                                  ∫∫(𝛢_1:2 - 𝛢_2:1)𝑑𝑥¹𝑥² =  ∫∫(𝛢_1,2 - 𝛢_2,1)𝑑𝑥¹𝑥² = ∫(𝛢₁𝑑𝑥¹ + 𝛢₂𝑑𝑥²)                              (21.6) 위는 그 면적의 둘레(perimeter)를 따라서 적분된다. 이와같이 우리는 그 둘레에 의해 경계된 표면을 가로지르는 한 flux(선다발)와 동등한 한 둘레 주위의 적분을 얻는다. 그 결과는 표면의 방정식이 𝑥⁰ = constant, 𝑥³ = constant 인 경우인 것들뿐만이 아니라, 모든 좌표계에서도 일반적으로 유효함이 틀림없다. 
        그 결과를 쓰기 위한 한 불변의 방법을 얻기 위해서, 우리는 이차원 표면의 한 요소를 위한 한 일반적 공식을 도입한다. 만일 우리가 두 작은 반변벡터 𝜉^𝜇와 𝜁^𝜇를 취하면, 그들이 범위를 정한 요소는 다음의 반대칭 이차 tensor에 의해서 결정된다.                                    𝑑𝑆^𝜇𝜈 = 𝜉^𝜇𝜁^𝜈 - 𝜉^𝜈𝜁^𝜇,    이리하여, 만일 𝜉^𝜇가 요소 0, 𝑑𝑥¹, 0, 0을 갖고 또한 𝜁^𝜇는  요소 0, 0, 𝑑𝑥², 0를 갖는다면, 𝑑𝑆^𝜇𝜈는 다음 요소들을 갖는다.                                  𝑑𝑆¹² = 𝑑𝑥¹𝑑𝑥²,     𝑑𝑆²¹ = -𝑑𝑥¹𝑑𝑥²    위에서 다른 요소들은 사라진다.  (21.6) 의 좌변은 다음이 된다.                                  ∫∫𝛢_𝜇:𝜈 𝑑𝑆^𝜇𝜈, 그 우변은 명백하게 ∫𝛢_𝜇 𝑑𝑥^𝜇 이므로, 그래서 그 공식은 다음이 된다.                                  (1/2)∫∫_surface(𝛢_𝜇:𝜈 - 𝛢_𝜈:𝜇) 𝑑𝑆^𝜇𝜈 = ∫_perimeter𝛢_𝜇 𝑑𝑥^𝜇                             (21.7)
    [comment] 유명한 두 이론에 대한 tensor적 추론 과정이 엄밀하며(rigorous) 결과가 아주 간략합니다.