Dirac's General Relativity (2)

8. Geodesics 측지선 (pp. 14-15)

좌표가 𝑧^μ인 한 점을 취하라 그리고 그것이 한 track을 따라서 움직인다고 상상하라; 우리는 그러면 그것이 어떤 매개변수 𝜏의 한 힘수를 갖도록 한다. 𝑑𝑧^μ/𝑑𝜏 = 𝑢^μ 라고 놓아라.
    그 track의 각 점마다 한 vector 𝑧^μ가 있다. 우리가 그 track을 따라 가는 만큼 그 vector 𝑧^μ는 평행이동에 의해 이동한다. 만일 우리에게 그 최초의 점과 그 vector 𝑧^μ의 최초의 값이 주어진다면 그 전체의 track이 결정된다. 우리는 바로 그 최초 점을 𝑧^μ으로부터 𝑧^μ + 𝑢^μ𝑑𝜏로 이동시켜야 하며, 그러면 그 vector 𝑢^μ가 평행이동에 의해서 이 새로운 점으로 이동하며, 그러면 그 점은 다시 새로운 𝑢^μ에 의해서 고쳐진 방향으로 다시 이동하고, 기타 등등이다. 그 track뿐만 아니라 그것에 따르는 매개변수 𝜏도 결정된다. 이런 방식으로 생성된 한 track을 우리는 한 측지선(geodesic)이라고 부른다.
    만일 그 vector 𝑢^μ가 처음부터 한 영벡터라면, 그것은 항상 영벡터로 남아있고 그 track은 한 영측지선이라고 불린다. 만일 그 vector 𝑢^μ가 처음부터 timelike (즉, 𝑢^μ𝑢_μ>0)라면, 그것은 항상 timelike이고, 우리는 한 시간류측지선을 갖는다. 만일 처음부터 spacelike(즉, 𝑢^μ𝑢_μ<0)라면 항상 한 공간류측지선을 갖는다.
    우리는 (7.11)에 𝐵^μ = 𝑢_μ와 𝑑𝑥^𝜎 = 𝑑𝑧^𝜎를 적용함으로써 한 측지선의 방정식을 얻는다. 이리하여 𝑑𝑢^ν/𝑑𝜏 + 𝛤^ν_μ𝜎𝑢_μ𝑑𝑧^𝜎/𝑑𝜏 = 0         (8.1) 또는 𝑑²𝑧^ν/𝑑𝜏² + 𝛤^ν_μ𝜎(𝑑𝑧^μ/𝑑𝜏)(𝑑𝑧^𝜎/𝑑𝜏) = 0.         (8.2)     한 시간류측지선을 위해서 우리는 최초의 𝑢_μ에 그 길이가 unity(單位圓)가 되도록 한 인자를 곱할 수 있디. 이것은 단지 𝜏의 축척의 한 변화량만을 요한다. 그 vector 𝑢^μ는 이제 길이 unity만을 갖는다. 그것은 바로 속도벡터 𝑣^μ = 𝑑𝑧^μ/𝑑𝑠 이고, 그 매개변수 𝜏는 고유시간 𝑠가 되었다.
    방정식 (8.1)은 다음 식이 된다. 𝑑𝑣^μ/𝑑𝑠 + 𝛤^μ_ν𝜎𝑣^ν𝑣^𝜎 = 0.         (8.3)     방정식 (8.2)은 다음 식이 된다. 𝑑²𝑧^μ/𝑑𝑠² + 𝛤^μ_ν𝜎(𝑑𝑧^ν/𝑑𝑠)(𝑑𝑧^𝜎/𝑑𝑠) = 0.         (8.4)     우리는 중력적 이외의 어떤 힘에 의해서도 작용받지 않는 한 입자의 세계선이 시간류측지선이라는 가정을 만든다. 이것은 Newton의 첫번째 운동법칙을 대치 한다. 방정식 (8.4)는 가속도를 수정하며 또한 그 운동 방정식을 제공한다.
    우리는 또한 한 광선의 경로는 한 영측지선이라는 가정을 만든다. 그것은 그 경로를 따르는 어떤 매개변수 𝜏를 참조하는 방정식 (8.2)에 의해 수정된다. 그 고유시간 𝑠은 𝑑𝑠가 사라지므로 이제는 사용될 수 없다.

9. The staionary property of geodesics 측지선의 정상성 (pp. 16-17)

영측지선이 아닌 한 측지선은, 만일 양 끝점을 고정으로 유지하는 그 track의 한 작은 variation을 만든다면, 그 끝점 𝑃와 𝑄을 갖는 그 track의 한 section을 따라서 취해진 ∫𝑑𝑠 는 stationary(정상적)하다는 성질을 갖는다.
    그 track의 좌표가 𝑧^μ인 각 점이 그 좌표가 𝑧^μ + δ𝑧^μ로 되도록 이동한다고 우리로 하여금 상상하라. 만일 𝑥^μ가 그 track을 따르는 한 요소를 표시한다고 하면, 𝑑𝑠² = 𝑔_μν𝑑𝑥^μ𝑑𝑥^ν. 따라서 2 𝑑𝑠 δ(𝑑𝑠) = 𝑑𝑥^μ𝑑𝑥^ν δ𝑔_μν + 𝑔_μν𝑑𝑥^μδ𝑑𝑥^ν + 𝑔_μν𝑑𝑥^νδ𝑑𝑥^μ= 𝑑𝑥^μ𝑑𝑥^ν 𝑔_μν,λδ𝑥^λ + 2𝑔_μλ𝑑𝑥^μδ𝑑𝑥^λ. 이제는 δ𝑑𝑥^λ = 𝑑δ𝑥^λ. 그래서, 𝑑𝑥^μ = 𝑣^μ𝑑𝑠의 도움으로, δ(𝑑𝑠) = [(1/2)𝑔_μν,λ𝑣^μ𝑣^ν δ𝑥^λ + 𝑔_μλ𝑣^μ𝑑δ𝑥^λ/𝑑𝑠]𝑑𝑠. 여기에서 δ∫𝑑𝑠 = ∫δ(𝑑𝑠) = ∫[(1/2)𝑔_μν,λ𝑣^μ𝑣^ν δ𝑥^λ + 𝑔_μλ𝑣^μ𝑑δ𝑥^λ/𝑑𝑠]𝑑𝑠. 부분적분에 의해서, 끝 점 𝑃와 𝑄에서 δ𝑥^λ = 0라는 조건을 사용하면, 우리는 다음을 얻는다. δ∫𝑑𝑠 = ∫[(1/2)𝑔_μν,λ𝑣^μ𝑣^ν - 𝑑/𝑑𝑠 (𝑔_μλ𝑣^μ)]δ𝑥^λ𝑑𝑠.         (9.1) 임의의 δ𝑥^λ와 소멸하기 위한 이것을 위한 조건은 𝑑/𝑑𝑠 (𝑔_μλ𝑣^μ) - (1/2)𝑔_μν,λ𝑣^μ𝑣^ν = 0.         (9.2) 이제는 𝑑/𝑑𝑠 (𝑔_μλ𝑣^μ) = 𝑔_μλ𝑑𝑣^μ/𝑑𝑠 + 𝑔_μν,λ𝑣^μ𝑣^ν= 𝑔_μλ𝑑𝑣^μ/𝑑𝑠 + (1/2)(𝑔_λμ,ν + 𝑔_λν,μ)𝑣^μ𝑣^ν 그래서 조건 (9.2)는 다음이 된다. 𝑔_μλ𝑑𝑣^μ/𝑑𝑠 + 𝛤_λμν𝑣^μ𝑣^ν = 0. 이것에 𝑔^λ𝜎를 곱하면, 그것은 다음이 된다. 𝑑𝑣^𝜎/𝑑𝑠 + 𝛤^𝜎_μν𝑣^μ𝑣^ν = 0, 위는 바로 한 측지선을 위한 조건 (8.3)이다.
    이 작업은 한 측지선을 위해서 (9.1)이 사라지고 또한 ∫𝑑𝑠가 stationary하다는 것을 보여준다. 거꾸로, 만일 우리가 ∫𝑑𝑠가 stationary하다고 가정하면, 우리는 그 track은 한 측지선이라고 추론할 수 있다.이렇게 우리는, 영측지선의 경우 외에는, 그 stationary 조건을 한 측지선의 정의로서 사용할 수 있다.

  [comment] 정상성은 불변고정임을 뜻합니다. '미분기하학' 중 'MC Forum 73'의 Theorem I-9와 같은 내용인데, 이 책의 표현이 더욱 아름답습니다!

10. Covariant differentiation 공변미분 (pp. 17-20)

𝑆를 스칼라장이라고 하자. 우리가 Section 3에서 본 것처럼 그 도함수 𝑆_,ν는 한 공변벡터이다. 이제는 𝐴_μ를 벡터장이라고 하자. 도함수 𝐴_μ,ν는 한 tensor인가?
    우리는 𝐴_μ이 한 좌표계 변화 아래서 어딴께 변환하는가를 검토해야만 한다. Section의 표기법으로는, 𝐴_μ는 다음으로 𝐴_μ' = 𝐴_ρ𝑥^ρ_,μ' 방정식 (3.5)과 같이 변환하며, 그러므로
𝐴_μ',ν' = (𝐴_ρ𝑥^ρ_,μ')_,ν'= 𝐴_ρ,𝜎𝑥^𝜎_,ν'𝑥^ρ_,μ' + 𝐴_ρ𝑥^ρ_,μ'ν'. 만일 우리가 한 tensor를 위한 올바른 변환 법칙을 갖아야 란다면 그 마지막 항은 여기에 있어서는 안된다. 그래서 𝐴_μν는 nontensor이다.
    우리는, 그렇지만, 한 tensor를 얻기 위해서 그 미분 과정을 조정할 수 있다. 우리가 그 vector 𝐴_μ를 그 점 𝑥에다 취하고, 평행이동해서 𝑥 + 𝑑𝑥로 이동시키도록 하라. 그것은 아직도 한 vector이다. 우리는 그것을 𝑥 + 𝑑𝑥에 있는 vector 𝐴_μ로부터 빼면 그 차이는 한 vector일 것이다. 그것은, 일계(the first order)로는, 다음 식이다.
𝐴_μ(𝑥 + 𝑑𝑥) - [𝐴_μ(𝑥) + 𝛤^α_μν𝐴_α𝑑𝑥^ν] = (𝐴_μ,ν - 𝛤^α_μν𝐴_α)𝑑𝑥^ν. 이 양은 어떤 vector 𝑑𝑥^ν에서도 한 vector이다; 그러므로, Section 4의 몫정리(Quotient Theorem)에 의해서, 그 계수
𝐴_μ,ν - 𝛤^α_μν𝐴_α 는 한 tensor이다. 사람들은 그것이 좌표계의 한 변화 아래서 올바르게 변환한다는 것을 직접적으로 쉽게 증명할 수 있다.     그것은 𝐴_μ의 공변도함수라 불리고 다음으로 씌여진다. 𝐴_μ:ν = 𝐴_μ,ν - 𝛤^α_μν𝐴_α.         (10.1) 쉼표가 바로 한 보통 도함수를 나타내듯이, 한 아래첨자 앞의 기호 colon(:)은 항상 한 공변벡터를 표시할 것이다. 𝐵_ν를 두번째 vector라고 하라. 우리는 외적 𝐴_μ𝐵_ν를 공변도함수를 다음과 같이 정의한다. (𝐴_μ𝐵_ν)_:𝜎 = 𝐴_μ:𝜎𝐵_ν + 𝐴_μ𝐵_ν:𝜎.         (10.2) 명백히 그것은 세 첨자를 갖는 한 tensor이다. 그것은 다음의 값을 갖는다. (𝐴_μ𝐵_ν)_:𝜎 = (𝐴_μ,ν - 𝛤^α_μ𝜎𝐴_α)𝐵_ν + 𝐴_μ(𝐵_μ,𝜎 - 𝛤^α_ν𝜎𝐵_α)= (𝐴_μ𝐵_ν)_,𝜎 - 𝛤^α_μ𝜎𝐴_α𝐵_ν - 𝛤^α_ν𝜎𝐴_μ𝐵_α.     𝑇_μν를 두 첨자를 가진 한 tensor라고 하자. 그것은 𝐴_μ𝐵_ν같은 항들의 한 합으로서 표현할 수 있어서, 그 공변도함수는 𝑇_μν:𝜎 = 𝑇_μν,𝜎 - 𝛤^α_μ𝜎𝑇_αν - 𝛤^α_ν𝜎𝑇_μα.         (10.3) 그 규칙은 임의의 수의 아래첨자를 가진 한 tensor 𝑌_μν...의 공변도함수까지 연장될 수 있다: 𝑌_μν...:𝜎 = 𝑌_{μν... ,𝜎} - 각 첨자를 위한 한 𝛤 항.         (10.4) 우리는 각 𝛤 항들에서 그 첨자들이 가기에 충분한 첨자 균형을 만들어야만 한다.
    한 scala의 경우는 𝑌에서 그 첨자의 수가 영인 일반 공식 (10.4)에 포함된다. 𝑌_:𝜎 = 𝑌_,𝜎.         (10.5)     (10.3)을 기본텐서 𝑔_μν에 적용하도록 하자. 그것은 (7.6)으로부터 다음을 부여한다. 𝑔_μν:𝜎 = 𝑔_μν,𝜎 - 𝛤^α_μ𝜎𝑔_αν - 𝛤^α_ν𝜎𝑔_μα= 𝑔_μν,𝜎 - 𝛤_νμ𝜎 - 𝛤_μν𝜎 = 0. 이와 같이 그 𝑔_μν는 공변미분하에서는 상수들로서 계산된다.
    공식 (10.2)는 한 벡터곱을 미분하기위해 사용하는 보통의 규칙이다. 우리는 이 규칙이 두 vector의 스칼라곱을 공변도함수를 위해서도 유지된다고 가정한다. 그래서 (𝐴^μ𝐵_μ)_:𝜎 = 𝐴^μ_:𝜎𝐵_μ + 𝐴^μ𝐵_μ:𝜎. 우리는 (10.5)와 (10.1)에 따라서 다음을 얻는다. (𝐴^μ𝐵_μ)_:𝜎 = 𝐴^μ_:𝜎𝐵_μ + 𝐴^μ(𝐵_μ,𝜎 - 𝛤^α_μ𝜎𝐵_α; 그리고 여기에서 𝐴^μ_,𝜎𝐵_μ = 𝐴^μ_:𝜎𝐵_μ - 𝐴^α 𝛤^μ_α𝜎𝐵_μ. 아것은 어떠한 𝐵_μ를 위해서도 유지되므로, 우리는 다음을 얻는다. 𝐴^μ_:𝜎 = 𝐴^μ_:𝜎 + 𝛤^μ_α𝜎𝐴^α.         (10.7) 이것이 한 반변벡터를 위한 공변미분의 기본 공식이다. 공변벡터를 위한 기본 공식 (10.1)에서와 같은 Christoffel 기호가 나타나지만, 그러나 이제는 + 기호가 있다. 첨자의 조정은 완전히 균형잡는 필요조건에 의해 결정된다.
    우리는 그 formalism이 어떤 수의 위첨자와 아래 첨자를 갖는 어떤 tensor의 공변도함수를 포함하도록 연장할 수 있다. 한 𝛤 항이 각 첨자마다 나타나는데, 그 첨자가 위첨자면 + 이고 아래첨자이면 - 기호와 함께 한다. 만일 우리가 두 첨자를 축약하면, 해당하는 𝛤 항들은 소거된다.
    한 곱셈의 공변미분을 위한 공식은 (𝑋𝑌)_:𝜎 = 𝑋_:𝜎𝑌 + 𝑋𝑌_:𝜎,         (10.8) 어떤 종류의 tensor 양인 𝑋와 𝑌와 더불어 꽤 일반적으로 유지된다. 그 𝑔_μν가 상수로 산정되기 때문에, 우리는 공변미분을 하기 전에 첨자를 위나 아래쪽으로 이동시킬 수 있으며 우리가 그것들을 나중에 이동시켰더라도 그 결과는 동일하다.
    nontensor의 공변미분은 아무런 의미가 없다.
    물리학의 법칙들은 모든 좌표계에서 유효해야만 한다. 그들이 그래서 tensor 방정식들로서 표현될 수 있어야만 한다. 그들이 한 field 양의 도함수를 포함할 때마다, 그것은 한 공변도함수이어야 한다. 물리학의 장방정식들은 모두 공변도함수에 의해서 보통 도함수들이 대치되어 재작성되어야 한다. 예를 들면, 한 scala를 위한 d'Alembert 방정식 □𝑉 = 0은 공변형식으로는 다음이 된다. 𝑔^μν𝑉_:μ:ν = 0. 이것은, (10.1)과 (10.5)로부터, 다음을 제공한다. 𝑔^μν(𝑉_,μν - 𝛤^α_μν𝑉_,α) = 0.     사람들이 평평한 공간(중력장을 무시하는 것을 의미하는)에서 작업을 하더라도, 곡선좌표계를 사용하고 있고 그것들이 모든 좌표계에서 통용되기를 바란다면, 반드시 자신의 방정식을 공변도함수의 항목들로 작성해야만 한다.

  [comment] d'Alembert 방정식은 수직 구속력은 일어나는 운동에 일을 해주지 않는다는 고전역학 원리의 기술입니다; (10.6)은 원문에 원래 없습니다.

11. The curvature tensor 곡률텐서 (pp. 20-21)

우리는 (10.8)의 곱셈 법칙에서 공변미분이 일반미분과 대단히 유사하다는 것을 안다. 그러나 일반 미분에는 중요한 성질이 있는데, 그것은 우리가 두 미분을 이어서 수행하는데 그 순서와 무관한데, 공변미분에서는, 일반적으로, 그것이 유효하지 않다는 것이다.
    먼저 한 스칼라장 𝑆을 고려하도록 하자. 우리는 공식 (10.1)로부터 다음을 갖는다. 𝑆_:μ:ν = 𝑆_:μ,ν - 𝛤^α_μν𝑆_:α= 𝑆_,μν - 𝛤^α_μν𝑆_,α,         (11.1) 이것은 μ와 ν간에 대칭적이라서, 이경우에는 공변미분의 순서는 무관하다.     이제 한 vector 𝐴_ν를 가지고 그것에다 두 공변미분들을 적용하자. 공식 (10.3)으로부터 𝑇_ν𝜌를 위해 𝐴_ν:𝜌로서 우리는 다음을 얻는다. 𝐴_ν:𝜌:𝜎 = 𝐴_ν:𝜌,𝜎 - 𝛤^α_ν𝜎𝐴_α:𝜌 - 𝛤^α_𝜌𝜎𝐴_ν:α= (𝐴_ν,𝜌 - 𝛤^α_ν𝜌𝐴_α)_,𝜎 - 𝛤^α_ν𝜎(𝐴_α,𝜌 - 𝛤^β_α𝜌𝐴_β) - 𝛤^α_𝜌𝜎(𝐴_ν,α - 𝛤^β_να𝐴_β)= 𝐴_ν,𝜌,𝜎 - 𝛤^α_ν𝜌𝐴_α,𝜎 - 𝛤^α_ν𝜎𝐴_α,𝜌 - 𝛤^α_𝜌𝜎𝐴_ν,α - 𝐴_β (𝛤^β_ν𝜌,𝜎 - 𝛤^α_ν𝜎 𝛤^β_α𝜌 - 𝛤^α_𝜌𝜎 𝛤^β_να) 여기에서 𝜌와 𝜎를 교환하고 그 앞의 표현에서 뺄셈을 하라. 그 결과는 다음이다. 𝐴_ν:𝜌:𝜎 - 𝐴_ν:𝜎:𝜌 = 𝐴_β𝑅^β_ν𝜌𝜎,         (11.2) 여기에서 𝑅^β_ν𝜌𝜎 = 𝛤^β_ν𝜎,𝜌 - 𝛤^β_ν𝜌,𝜎 + 𝛤^α_ν𝜎𝛤^β_α𝜌 - 𝛤^α_ν𝜌𝛤^β_α𝜎.         (11.3)     (11.2)의 좌변이 한 tensor이다. 따라서 (11.2)의 우변이 한 tensor가 된다. 이것은 어떤 vector 𝐴_βㅇ[도 유효하다; 그러므로, Section 4의 몫정리에 의해서 𝑅^β_ν𝜌𝜎도 한 tensor이다. 그것은 Riemann-Christoffel tensor 또는 곡률텐서라고 불린다.
    그것은 명백하게 다음의 성질을 가진다. 𝑅^β_ν𝜌𝜎 = -𝑅^β_ν𝜎𝜌.         (11.4) 또한, 우리는 (11.3)으로 쉽게 다음을 안다. 𝑅^β_ν𝜌𝜎 + 𝑅^β_𝜌𝜎ν + 𝑅^β_𝜎ν𝜌 = 0..         (11.5)     첨자 β를 내리고 그것을 첫번째 첨자로 하도록 하자. 우리는 다음을 얻는다. 𝑅_μν𝜌𝜎 = 𝑔_μβ𝑅^β_ν𝜌𝜎 = 𝑔_μβ𝛤^β_ν𝜎,𝜌 + 𝛤^α_ν𝜎𝛤_μ𝜎𝜌 - <𝜌𝜎>, 여기에서 그 기호 <𝜌𝜎>는 𝜌 와 𝜎 가 교환된 앞의 항들을 표시한다. 그래서 𝑅_μν𝜌𝜎 = 𝛤_{μν𝜎,𝜌} - 𝑔_μβ,𝜌𝛤^β_ν𝜎 + 𝛤_μβ𝜎𝛤^β_ν𝜎 - <𝜌𝜎>= 𝛤_{μν𝜎,𝜌} - 𝛤_βμ𝜎𝛤^β_ν𝜎 - <𝜌𝜎>,(7.6)으로부터다. 그래서 (7.5)으로부터 𝑅_μν𝜌𝜎 = (1/2)[𝑔_{μ𝜎,ν𝜌} - 𝑔_{ν𝜎,μ𝜌} - 𝑔_{μ𝜌,ν𝜎} + 𝑔_{ν𝜌,μ𝜎}] + 𝛤_μβ𝜎𝛤^β_ν𝜎 - 𝛤_βμ𝜌𝛤^β_ν𝜎,         (11.6) 어떤 이상의 대칭들이 나타난다; 즉 𝑅_μν𝜌𝜎 = -𝑅_νμ𝜌𝜎         (11.7) 그리고 𝑅_μν𝜌𝜎 = 𝑅_𝜌𝜎μν = 𝑅_{𝜎𝜌νμ.}         (11.8) 모든 이런 대칭의 결과는 𝑅_μν𝜌𝜎의 256 성분들의 오직 20 만이 독립적이다.

  [comment] '미분기하학' 중 'MC Forum 74'의 관련 내용을 보면, 상호 보완적인 측면이 있어서 좋은 참고가 됩니다.

12. The condition for flat space 평평한 공간의 조건 (p. 22)

만일 공간이 평평하면, 우리는 직선적인이므로 𝑔_μν가 상수인 한 좌표계를 선택할 수 있다. 그 tensor 𝑅_μν𝜌𝜎는 사라진다.
    역으로, 만일 𝑅_μν𝜌𝜎이 사라지면, 사람들은 그 공간이 평평하다는 것을 증명할 수 있다. 한 점 𝑥에 고정된 vector 𝐴_μ를 가지고 평행이동에 의해 점 𝑥 + 𝑑𝑥로 옮기자. 그 다음에 그것을 평행이동에 의해 점 𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝛿𝑥로 옮겨라. 만일 𝑅_μν𝜌𝜎가 사라지면, 우리가 그 점을 처음에는 𝑥 + 𝛿𝑥로 옮겼다가, 그 다음에 점 𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝛿𝑥로 옮긴 것처럼 그 결과는 같아야만 한다. 이리하여 우리는 한 vector를 한 먼 점으로 옮길 수 있고 또한 우리가 얻은 결과는 그 먼 점으로으로 경로와 무관하다. 그러므로, 만일 우리가 𝑥에의 원래 vector 𝐴_μ를 평행이동에 의해 옮긴다면, 우리는 𝐴_μ:ν = 0 을 만족하는 한 벡터장을 얻거나, 혹은 𝐴_μ,ν = 𝛤^𝜎_μν𝐴_𝜎.         (12.1)     그러한 한 벡터장은 한 scalar의 기울기(gradient)가 될 수 있을까? (12.1)에서 𝐴_μ = 𝑆_,μ 이라고 놓자. 우리는 다음을 얻는다. 𝑆_,μν = 𝛤^𝜎_μν𝑆_,𝜎.         (12.2) 아래첨자 안에서의 𝛤^𝜎_μν의 대칭성때문에, 우리는 𝑆_,μν와 같은 값으로서 𝑆_,νμ를 갖으며 또한 방정식 (12.2)는 적분가능하다.
    (12.2)를 만족하는 독립적인 네 scalar들을 취하도록 하자. 그리고 그것들이 새 좌표계의 좌표 𝑥^α'이 되도록 하자. 그러면 𝑥^α'_,μν = 𝛤^𝜎_μν𝑥^α'_,𝜎.     변환 법칙 (3.7)에 따라서, 𝑔_μλ = 𝑔_α'β'𝑥^α'_,μ𝑥^β'_,λ. 이 방정식을 𝑥^ν에 대해서 미분하면, 우리는 (7.6)으로부터 다음을 얻는다. 𝑔_μλ,ν - 𝑔_α'β',ν𝑥^α'_,μ𝑥^β'_,λ = 𝑔_α'β'(𝑥^α'_,μν𝑥^β'_,λ + 𝑥^α'_,μ𝑥^β'_,λν) = 𝑔_α'β'(𝛤^𝜎_μν𝑥^α'_,𝜎𝑥^β'_,λ + 𝑥^α'_,μ𝛤^𝜎_λν𝑥^β'_,𝜎) = 𝑔_𝜎λ𝛤^𝜎_μν + 𝑔_μ𝜎𝛤^𝜎_λν = 𝛤_λμν + 𝛤_μλν = 𝑔_μλ,ν 그래서 𝑔_α'β',ν𝑥^α'_,μ𝑥^β'_,λ = 0. 그것은 𝑔_α'β',ν = 0 으로 된다. 새 좌표계에 참조하는 기본텐서는 상수이다. 이렇게 우리는 직선좌표계를 참조하는 평평한 공간을 갖는다.

13. The Bianchi relations 비앙키 관계식 (p. 23)

한 tensor의 이계 공변도함수를 다루기 위해서, 먼저 그 tensor가 두 vector 𝐴_μ𝐵_τ의 외적인 경우를 취하라. 우리는 다음을 갖는다. (𝐴_μ𝐵_τ)_:𝜌:𝜎 = (𝐴_μ:𝜌𝐵_τ + 𝐴_μ𝐵_τ:𝜌)_:𝜎 = 𝐴_μ:𝜌:𝜎𝐵_τ + 𝐴_μ:𝜌𝐵_τ:𝜌 + 𝐴_μ:𝜎𝐵_τ:𝜌 + 𝐴_μ𝐵_τ:𝜌:𝜎, 이제 𝜌와 𝜎를 교환하고 뺄셈을 하라. 우리는 (11.2)로부터 다음을 얻는다. (𝐴_μ𝐵_τ)_:𝜌:𝜎 - (𝐴_μ𝐵_τ)_:𝜎:𝜌 = 𝐴_α𝑅^α_μ𝜌𝜎𝐵_τ + 𝐴_μ𝑅^α_τ𝜌𝜎𝐵_α. 한 일반 tensor 𝑇_μτ는 𝐴_μ𝐵_τ 같은 항들의 합으로서 표현될 수 있으며, 따라서 그것은 다음을 만족시켜야만 한다. 𝑇_{μτ:𝜌:𝜎} - 𝑇_{μτ:𝜎:𝜌} = 𝑇_ατ𝑅^α_μ𝜌𝜎 + 𝑇_μα𝑅^α_τ𝜌𝜎.         (13.1)     이제 𝑇_μτ를 한 vector의 공변도함수 𝐴_μ:τ로 취하라. 우리는 다음을 갖는다. 𝐴_{μ:τ:𝜌:𝜎} - 𝐴_{μ:τ:𝜎:𝜌} = 𝐴_α:τ𝑅^α_μ𝜌𝜎 + 𝐴_μ:α𝑅^α_τ𝜌𝜎. 이 공식 안에서 τ, 𝜌, 𝜎의 순환치환(약어: cyc perm)을 만들고 또한 세 방정식을 합해서 다음을 얻었다. 그 좌변은 아래가 되고, 𝐴_{μ:𝜌:𝜎:τ} - 𝐴_{μ:𝜎:𝜌:τ} + cyc perm = (𝐴_α𝑅^α_μ𝜌𝜎)_:τ + cyc perm = 𝐴_α:τ𝑅^α_μ𝜌𝜎 + 𝐴_α𝑅^α_{μ𝜌𝜎:τ} + cyc perm.         (13.2) 그 우변은 아래가 된다. 𝐴_α:τ𝑅^α_μ𝜌𝜎 + cyc perm,         (13.3)(11.5)로부터 남아있는 항들이 소거되기 때문이다. (13.2)의 첫째 항은 (13.3)와 소거되어서 우리에게는 다음이 남아있다. 𝐴_α𝑅^α_{μ𝜌𝜎:τ} + cyc perm = 0. 인자 𝐴_α가 이 방정식에서 줄곧 나타나므로 소거될 수 있겠다. 우리에게는 다음이 남는다. 𝑅^α_{μ𝜌𝜎:τ} + 𝑅^α_{μ𝜎τ:𝜌} + 𝑅^α_{μτ𝜌:𝜎} = 0.         (13.4) 곡률텐서는 또한 Srction 11의 모든 대칭 관계와 더불어 이 미분방정식을 만족한다. 그들은 Bianchi 관계식이라고 알려져 있다.

   [comment] 원문에는 Bianci라 되어 있으나, 이탈리아 수학자 Luigi Bianchi(1856~1928)의 이름이므로 정정했습니다.

14. The Ricci tensor 리치텐서 (pp. 24-25)

𝑅_μν𝜌𝜎안의 두 첨자를 축약하자. 만일 우리가 비대칭인 두개를 취하면, 물론, 우리는 영을 얻는다. 만일 우리가 임의의 다른 두개를 취하면, 대칭성 (11.4), (11.7) 와 (11.8) 때문에, 부호와는 별개인, 같은 결과를 얻는다. 첫번째와 마지막을 가지고 다음으로 놓도록 하자. 𝑅^μ_ν𝜌μ = 𝑅_ν𝜌. 그것은 Ricci tensor라 불린다. (11.8)에 𝑔^μ𝜎를 곱함으로써, 우리는 다음을 얻는다. 𝑅_ν𝜌 = 𝑅_𝜌ν.        (14.1) Ricci tensor는 대칭적이다.
    우리는 또다시 축약하여 다음을 형성할 수 있다고 한다. 𝑔^ν𝜌𝑅_ν𝜌 = 𝑅^ν_ν = 𝑅. 이 𝑅은 한 scalar이며 또한 스칼라곡률 또는 전체곡률이라고 불린다. 그것은 삼치원에서 한 구의 표면을 양으로 하는 방식으로 정의되며, 사람들이 한 직접 계산에 의해서 검사할 수 있다.     Bianchi 관계식 (13.4)는 다섯 첨자를 포함한다. 두번 축약을 해서 한 nondummy 첨자를 갖는 한 관계식을 얻자. τ = α로 놓고 𝑔^μ𝜌를 곱하라. 그 결과는 𝑔^μ𝜌(𝑅^α_{μ𝜌𝜎:α} + 𝑅^α_{μ𝜎α:𝜌} + 𝑅^α_{μα𝜌:𝜎}) = 0 또는 (𝑔^μ𝜌𝑅^α_μ𝜌𝜎)_:α + (𝑔^μ𝜌𝑅^α_μ𝜎α)_:𝜌 + (𝑔^μ𝜌𝑅^α_μα𝜌)_:𝜎 = 0.        (14.2) 이제 𝑔^μ𝜌𝑅^α_μ𝜌𝜎 = 𝑔^μ𝜌𝑔^αβ𝑅_βμ𝜌𝜎 = 𝑔^μ𝜌𝑔^αβ𝑅_μβ𝜎𝜌 = 𝑔^αβ𝑅_β𝜎 = 𝑅^α_𝜎. 사람들은 대칭적인 𝑅_α𝜎 때문에 하나가 다른 것 위에 있는 첨자들로 쓸 수 있다. 방정식 (14.2)는 이제 다음이 된다. 𝑅^α_𝜎:α + (𝑔^μ𝜌𝑅_μ𝜎)_:𝜌 - 𝑅_:𝜎 = 02𝑅^α_𝜎:α - 𝑅_:𝜎 = 0, 그것은 Ricci tensor를 위한 Bianchi 관계식이다. 만일 우리가 그 첨자 𝜎를 올리면, 우리는 다음을 얻는다. [𝑅^𝜎α - (1/2)𝑔^𝜎α𝑅]_:α = 0.       (14.3)     Ricci tensor를 위한 명시적 표현은, (11.3)으로부터 𝑅_μν = 𝛤^α_μα,ν - 𝛤^α_μν,α - 𝛤^α_μν𝛤^β_αβ + 𝛤^α_μβ𝛤^β_ν𝜎.        (14.4) 여기의 첫째항은 μ와 ν안에서 대칭적으로 나타나지는 않으며, 반면에 다른 세항들은 명백하게 그렇다. 첫번째 항이 실제로 대칭적임을 수립하려면 우리는 약간의 계산이 필요하다.
    determinant 𝑔를 미분하기 위해서 우리는 그 안의 각 요소 𝑔_λμ를 미분하고 그 cofactor 𝑔𝑔^λμ를 곱하여야 한다. 이리하여 𝑔_,ν = 𝑔𝑔^λμ𝑔_λμ,ν.         (14.5) 여기에서 𝛤^μ_νμ = 𝑔^λμ𝛤_λνμ = (1/2)𝑔^λμ(𝑔_λν,μ + 𝑔_λμ,ν - 𝑔_μν,λ) = (1/2)𝑔^λμ𝑔_λμ,ν = (1/2)𝑔^-1𝑔_,ν = (1/2)(log 𝑔)_,ν.         (14.6) 이것은 (14.4)의 첫째항이 대칭적임을 명백하게 만든다.

   [comment] Dirac 특유의 아주 간결하면서도 엄밀한 추론인데, 나중에 다시 Einstein -물질 존재-장방정식에 나옵니다.