Vectors and Tensors (3)

     5.1 Definitions (advanced) 고급 정의  
     ∘  A scalar 방향 표시가 없는, 단 하나의 값(a single value)으로, 그 값은 좌표계가 변화할 때에도 불변 양을 표현한다.
     ∘  A vector 는 (3차원 공간에서) "벡터 성분"이라 부르는 3개 값의 배열로서, 좌표계가 변화할 때에도 그 성분들은 방향 표시기("기저벡터")와
          결합해서 불변 양을 형성한다.    𝐀 = 𝐴^𝑖𝐞_𝑖 = 𝐴_𝑖𝐞^𝑖  <- 𝐀: 같은 실체인 vector;  𝐴^𝑖: 반변성분;  𝐞_𝑖: 공변기저벡터;  𝐴_𝑖: 공변성분;  𝐞^𝑖: 반변기저벡터
          𝐴'^𝑖 = (∂𝑥'^𝑖/∂𝑥^𝑗)𝐴^𝑖  <-  𝐴'^𝑖: 새 좌표계의 반변성분;  𝐴^𝑖: 원래 좌표계의 반변성분;  (∂𝑥'^𝑖/∂𝑥^𝑗):원래 좌표계 축에 접하는 방향의 기저벡터
          𝐴'_𝑖 = (∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑖)𝐴_𝑗  <-  𝐴'_𝑖: 새 좌표계의 공변성분;  𝐴_𝑖: 원래 좌표계의 공변성분;  (∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑖) 원래 좌표계 축에 수직인 쌍대기저벡터
     ∘  차수 𝑛의 tensor 는 (3차원 공간에서) "텐서 성분"이라 부르는 3^𝑛개 값의 배열로서, 그 성분들은 좌표계가 변화할 때에도 그 성분들은 다중의
          방향 표시기("기저벡터")와 결합해서 불변 양을 형성한다.

     5.2 Covariant, contravariant, and mixed tensor 공변, 반변 그라고 혼합텐서
     ∘  𝐴'^𝑖𝑗 = (∂𝑥^𝑖'/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑗'/∂𝑥^𝑙)𝐴^𝑘𝑙   (5.1)  <- 2차 반변텐서의 변환식
     ∘  𝐴'_𝑖𝑗 = (∂𝑥^𝑘/∂𝑥^𝑖')(∂𝑥^𝑙/∂𝑥^𝑗')𝐴_𝑘𝑙   (5.4)  <- 2차 공변텐서의 변환식
     ∘  𝐴'^𝑖_𝑗 = (∂𝑥^𝑖'/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑙/∂𝑥^𝑗')𝐴^𝑘_𝑙   (5.5)  <- 2차 혼합텐서의 변환식

     5.3 Tensor addition and substraction 텐서의 덧셈과 뺄셈 : 지수가 일치하도록 함
     ∘  example) 𝐶^𝑘_𝑙 =  (∂𝑥'^𝑘/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑙)𝐴^𝑖_𝑗 + (∂𝑥'^𝑘/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑙)𝐵^𝑖_𝑗 =  (∂𝑥'^𝑘/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑙)(𝐴^𝑖_𝑗 + 𝐵^𝑖_𝑗) = 𝐶^𝑖_𝑗

     5.4 Tensor multiplication 텐서의 곱셈
     ∘  열벡터와 행벡터의 "외적(outer product)" 다음과 같아서, 차수 1의 tensor(vector)의 외적은 차수 2의 tensor가 됩니다.
                        ⌈ 𝐴₁ ⌉                            ⌈ 𝐴₁𝐵₁ 𝐴₁𝐵₂ 𝐴₁𝐵₃ ⌉  
          𝐀 ⊗ 𝐁 =┃𝐴₂┃ [ 𝐵₁  𝐵₂ 𝐵₃ ] = ┃ 𝐴₂𝐵₁ 𝐴₂𝐵₂ 𝐴₂𝐵₃┃      
                         ⌊ 𝐴₃ ⌋                           ⌊ 𝐴₃𝐵₁ 𝐴₃𝐵₂ 𝐴₃𝐵₃ ⌋       
                       ∘  어떤 책들에서는 '⊗'으로 외적을 가르키는데, 다른 책들에서는 그냥 다음과 같이 쓰기도 합니다.  𝐴^𝑖 𝐵^𝑗 = 𝐶^𝑖𝑗; 다음은 일례입니다.
        𝐴'^𝑛_𝑜𝐵'^𝑝_𝑞𝑟 = (∂𝑥'^𝑛/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑙/∂𝑥'^𝑜)𝐴^𝑖_𝑗 (∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑙/∂𝑥'^𝑞)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐵^𝑘_𝑙𝑚 =  (∂𝑥'^𝑛/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑙/∂𝑥'^𝑜) (∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑙/∂𝑥'^𝑞)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐴^𝑖_𝑗𝐵^𝑘_𝑙𝑚
        그래서, 만일 𝐴^𝑖_𝑗𝐵^𝑘_𝑙𝑚 = 𝐶^𝑖𝑘_𝑗𝑙𝑚, 𝐴'^𝑛_𝑜𝐵'^𝑝_𝑞𝑟 = 𝐶'^𝑛𝑝_𝑜𝑞𝑟 라면,  𝐶'^𝑛𝑝_𝑜𝑞𝑟 =  (∂𝑥'^𝑛/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑜) (∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑙/∂𝑥'^𝑞)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐶^𝑖𝑘_𝑗𝑙𝑚  (5.11)
     ∘  다른 tensor 곱은 "내적(inner product}"으로 벡터의 스칼라곱의 일반화로서, 위아래 첨자에 같은 지수를 사용하여 수행합니다.
        내적을 하면 2개의 차수가 "축약(contract)"됩니다.  𝐶^𝑖𝑗_𝑗𝑙 = 𝐶^𝑖1_1𝑙 + 𝐶^𝑖2_2𝑙 + 𝐶^𝑖3_3𝑙 = 𝐷^𝑖_𝑙.  <- 4차 tensor가 2차 tensor로 축약됨
     ∘  (5.11) tenso의 네번째 지수f를 𝑛으로 바꾸어 축약을 해보면,  𝐶'^𝑛𝑝_𝑜𝑛𝑟 =  (∂𝑥'^𝑛/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑜) (∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑙/∂𝑥'^𝑛)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐶^𝑖𝑘_𝑗𝑙𝑚
        =  (∂𝑥'^𝑛/∂𝑥^𝑖) (∂𝑥^𝑙/∂𝑥'^𝑛)(∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑜)(∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐶^𝑖𝑘_𝑗𝑙𝑚 =  (∂𝑥^𝑙/∂𝑥^𝑖)(∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑜)(∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐶^𝑖𝑘_𝑗𝑙𝑚 
          =  𝛿^𝑙_𝑖 (∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑜)(∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐶^𝑖𝑘_𝑗𝑙𝑚 = (∂𝑥^𝑗/∂𝑥'^𝑜)(∂𝑥'^𝑝/∂𝑥^𝑘)(∂𝑥^𝑚/∂𝑥'^𝑟)𝐶^𝑖𝑘_𝑗𝑙𝑚  
        <- 크로네커델타(Kronecker Delta) 함수 𝛿^𝑖_𝑗 =  (1, 𝑖=𝑗; 0, 𝑖≠𝑗) 사용함; 결과로서 5차 tensor가 3차 tensor로 축약됨

     5.5 Metric tensor 계량텐서
     ∘  주어진 좌표계에게 "계량을 제공하는(providing metric)" tensor를 기본 또는 계량(fundamental or metric) tensor라고 부릅니다.
        보통 "𝑔"가 계량텐서의 기호가 되고, 계량텐서는 반변성분인 𝑔^𝑖𝑗 과 공변성분인 𝑔_𝑖𝑗를 갖습니다. 계량텐서의 역할을 이해하기 위해서
        미분 거리 ds에 의해 분리된 두점 사이의 vecter를 d𝒓이라고 한다면,  미분 거리의 제곱은 다음과 같이 됩니다.  ds² = d𝒓 ∘ d𝒓 .
        d𝒓 = 𝐞_𝑖d𝑥^𝑖 = 𝐞^𝑖d𝑥_𝑖  <-  𝐞_𝑖 = : 좌표 기저벡터,  𝐞^𝑖: 쌍대기저벡터
     ∘  (옵션 1)은 반변성분 간 내적이고, (옵션 2)는 공변성분 간 내적이며, (옵션 3)은 반번성분과 공변 성분 간 내적입니다.
        ds² = d𝒓 ∘ d𝒓 = 𝐞_𝑖d𝑥^𝑖 ∘ 𝐞_𝑗d𝑥^𝑗 = (𝐞_𝑖 ∘ 𝐞_𝑗)d𝑥^𝑖d𝑥^𝑗 = 𝑔_𝑖𝑗d𝑥^𝑖d𝑥^𝑗 = 𝐞^𝑖d𝑥_𝑖 ∘ 𝐞^𝑗d𝑥_𝑗 = (𝐞^𝑖 ∘ 𝐞^𝑗)d𝑥_𝑖d𝑥_𝑗 = 𝑔^𝑖𝑗d𝑥_𝑖d𝑥_𝑗 = 𝐞_𝑖d𝑥^𝑖 ∘ 𝐞^𝑗d𝑥_𝑗 = (𝐞_𝑖 ∘ 𝐞^𝑗)d𝑥^𝑖d𝑥_𝑗 = d𝑥^𝑖d𝑥_𝑖
     ∘  계량텐서는 두점 간의 불변(invariant) 거리와 각도로 공간의 "기하학을 제공합니다(provide the geometry)". 두점 간의 vector가 𝐀 이면,
        ∣𝐀∣ = √ (𝐴^𝑖𝐞_𝑖 ∘ 𝐴^𝑗𝐞_𝑗) = √ (𝐞_𝑖 ∘ 𝐞^𝑗)𝐴^𝑖𝐴^𝑗 = √ 𝑔_𝑖𝑗𝐴^𝑖𝐴^𝑗 = √ (𝐴_𝑖𝐞^𝑖 ∘ 𝐴_𝑗𝐞^𝑗) = √ (𝐞^𝑖 ∘ 𝐞_𝑗)𝐴_𝑖𝐴_𝑗 = √ 𝑔^𝑖𝑗𝐴_𝑖𝐴_𝑗 = √ (𝐴^𝑖𝐞_𝑖 ∘ 𝐴_𝑗𝐞^𝑗) = √ (𝐞_𝑖 ∘ 𝐞^𝑗)𝐴^𝑖𝐴_𝑗 = √ 𝐴^𝑖𝐴_𝑖.  
        cos 𝜃 = ∣𝐀∣ ∘ ∣𝐁∣ /∣𝐀∣ ∣𝐁∣ = 𝑔_𝑖𝑗𝐴^𝑖𝐵^𝑗 /(√ 𝑔_𝑖𝑗𝐴^𝑖𝐴^𝑗 √ 𝑔_𝑖𝑗𝐵^𝑖𝐵^𝑗) = 𝐴_𝑖𝐵^𝑖 /(√ 𝐴_𝑖𝐴^𝑖 √ 𝐵_𝑖𝐵^𝑖) = 𝑔^𝑖𝑗𝐴_𝑖𝐵_𝑗 /(√ 𝑔^𝑖𝑗𝐴_𝑖𝐴_𝑗 √ 𝑔^𝑖𝑗𝐵_𝑖𝐵_𝑗)
     ∘  3차원에서 반변성분과 좌표 기저벡터의 조합인 경우 계량텐서(metric tensor)를 상세히 살펴보면,   ds² = 𝑔_𝑖𝑗d𝑥^𝑖d𝑥^𝑗 (5.13)
        𝐞₁ = (∂𝑥'¹/∂𝑥¹, ∂𝑥'²/∂𝑥¹, ∂𝑥'³/∂𝑥¹),  𝐞₂ = (∂𝑥'¹/∂𝑥², ∂𝑥'²/∂𝑥², ∂𝑥'³/∂𝑥²),  𝐞₃ = (∂𝑥'¹/∂𝑥³, ∂𝑥'²/∂𝑥³, ∂𝑥'³/∂𝑥³)  (5.14)
                                                                                                                                                   ⌈ 𝑔₁₁ 𝑔₁₂ 𝑔₁₃ ⌉  
        𝑔_𝑖𝑗 =  (𝐞_𝑖 ∘ 𝐞_𝑗) = [(∂𝑥'¹/∂𝑥^𝑖) (∂𝑥'¹/∂𝑥^𝑗) + (∂𝑥'²/∂𝑥^𝑖) (∂𝑥'²/∂𝑥^𝑗) + (∂𝑥'³/∂𝑥^𝑖) (∂𝑥'³/∂𝑥^𝑗)] = ┃𝑔₂₁ 𝑔₂₂ 𝑔₂₃┃.
                                                                                                                                                   ⌊ 𝑔₃₁ 𝑔₃₂ 𝑔₃₃ ⌋  
     ∘  구면좌표계 (𝑟, 𝜃, 𝜙)에서 데카르트 좌표계 (𝑥, 𝑦, 𝑧)로의 변환의 경우에 이를 적용해보면,  𝑥¹ = 𝑟, 𝑥² = 𝜃, 𝑥³ = 𝜙,
        𝑥'¹ = 𝑥¹sin(𝑥²)cos(𝑥³),  𝑥'² = 𝑥¹sin(𝑥²)sin(𝑥³),  𝑥'³ = 𝑥¹cos(𝑥²)  (5.16)
        ∂𝑥'¹/∂𝑥¹ = sin(𝑥²)cos(𝑥³),  ∂𝑥'¹/∂𝑥² = 𝑥¹cos(𝑥²)cos(𝑥³),  ∂𝑥'²/∂𝑥¹ = sin(𝑥²)sin(𝑥³),  ∂𝑥'²/∂𝑥² = 𝑥¹cos(𝑥²)sin(𝑥³),  ∂𝑥'³/∂𝑥¹ = cos(𝑥²),   
          ∂𝑥'³/∂𝑥² = -𝑥¹sin(𝑥²),  ∂𝑥'¹/∂𝑥³ = -𝑥¹sin(𝑥²)sin(𝑥³),  ∂𝑥'²/∂𝑥³ = 𝑥¹sin(𝑥²)cos(𝑥³),  ∂𝑥'³/∂𝑥³ = 0,  
        𝑔₁₁ = [(∂𝑥'¹/∂𝑥¹) (∂𝑥'¹/∂𝑥¹) + (∂𝑥'²/∂𝑥²) (∂𝑥'¹/∂𝑥¹) + (∂𝑥'³/∂𝑥³) (∂𝑥'¹/∂𝑥¹)] = 1,  
        𝑔₂₂ = [(∂𝑥'¹/∂𝑥¹) (∂𝑥'²/∂𝑥²) + (∂𝑥'²/∂𝑥²) (∂𝑥'²/∂𝑥²) + (∂𝑥'³/∂𝑥³) (∂𝑥'²/∂𝑥²)] = 𝑟²,  
        𝑔₃₃ = [(∂𝑥'¹/∂𝑥¹) (∂𝑥'³/∂𝑥³) + (∂𝑥'²/∂𝑥²) (∂𝑥'³/∂𝑥³) + (∂𝑥'³/∂𝑥³) (∂𝑥'³/∂𝑥³)] = 𝑟²sin²(𝜃),  
        𝑔₁₂ = 𝑔₁₃ = 𝑔₂₁ = 𝑔₂₃ = 𝑔₃₁ = 𝑔₃₂ = 0,  ∴ ds² = d𝑟² + 𝑟²d𝜃² + 𝑟²sin²𝜃d𝜙².  (5.17,18)   ▮
     ∘  직교좌표계의 경우 0이 아닌 √ 𝑔₁₁, √ 𝑔₂₂, √ 𝑔₁₁를 각각 "축척 요소(scale factors)"(𝒉₁, 𝒉₂, 𝒉₃)이라고 하며, vector 연산에 적용해보면,
         𝛁 𝜙 = (1/𝒉₁)(∂𝜙/∂𝑥¹)𝐞₁+ (1/𝒉₂)(∂𝜙/∂𝑥²)𝐞₂+ (1/𝒉₃)(∂𝜙/∂𝑥³)𝐞₃,  <- (2.31,32) 비교 참조
         𝛁 ∘ 𝐀 =  (1/𝒉₁𝒉₂𝒉₃){(∂ /∂𝑥¹)(𝒉₂𝒉₃𝐴₁) + (∂ /∂𝑥²)(𝒉₁𝒉₃𝐴₂) + (∂ /∂𝑥³)(𝒉₁𝒉₂𝐴₃)},  <- (2.36,37) 비교 참조
                                        ┃ 𝒉₁𝐞₁     𝒉₂𝐞₂     𝒉₃𝐞₃  ┃
         𝛁 ⨯ 𝐀 =  (1/𝒉₁𝒉₂𝒉₃)┃∂ /∂𝑥¹  ∂ /∂𝑥²  ∂ /∂𝑥³ ┃,   <- (2.41,42) 비교 참조
                                        ┃ 𝒉₁𝐴₁    𝒉₂𝐴₂    𝒉₃𝐴₃ ┃
         𝛁²𝜙 =  (1/𝒉₁𝒉₂𝒉₃){(∂ /∂𝑥¹)(𝒉₂𝒉₃/𝒉₁)(∂𝜙 /∂𝑥¹) +  (∂ /∂𝑥²)(𝒉₁𝒉₃/𝒉₂)(∂𝜙 /∂𝑥²) + (∂ /∂𝑥³)(𝒉₁𝒉₂/𝒉₃)(∂𝜙 /∂𝑥³)}.  <- (2.51,52) 비교 참조

     5.6 Index rasing and lowering  지수 올리기와 내리기
     ∘  계량텐서(metric tensor)의 아주 유용한 기능 중의 하나가 반변성분과 공변성분 간의 다음과 같은 변환입니다.
        𝑔_𝑖𝑗𝐴^𝑗 = 𝐴_𝑖,  𝑔^𝑖𝑗𝐵_𝑖 = 𝐵^𝑗,  𝑔^𝑖𝑗𝐴_𝑖𝑘 = 𝐴^𝑖_𝑘,  𝐶^𝑖_𝑗𝑘 = 𝑔_𝑗𝑠𝐶^𝑖𝑠𝑘,   𝑇^𝑖𝑗𝑘 = 𝑔^𝑖𝑙𝑇^𝑗𝑘_𝑙.   (5.19~21)  <- ∵ 위의 계량텐서 (옵션 1,2)와 (옵션 3)가 등식이 되므로

     5.7 Tensor derivatives and Christoffel symbols 텐서 도함수와 크리스토펠 기호
     ∘  데카르트 좌표계 이외에서는 기저벡터의 도함수를 표현하는 방법이 필요한데 일단 반변벡터의 경우를 설명합니다. (Figure 5.1)
         𝐀 = 𝐴¹𝐞₁ + 𝐴²𝐞₂ + 𝐴³𝐞₃ 라면,  ∂𝐀/∂𝑥^𝑗 =  ∂𝐴^𝑖𝐞_𝑖)/∂𝑥^𝑗 = (∂𝐴^𝑖/∂𝑥^𝑗)𝐞_𝑖 + 𝐴^𝑖(∂𝐞_𝑖 /∂𝑥^𝑗), 여기서 크리스토펠 기호 𝛤^𝑘_𝑖𝑗𝐞_𝑘 = ∂𝐞_𝑖 /∂𝑥^𝑗 로 정의합니다.
     ∘  예로 원기둥좌표(𝑟, 𝜃, 𝑧)에서  ∂𝐞_𝑟 /∂𝜃 = 𝛤^𝑘_𝑟𝜃𝐞_𝑘 = 𝛤^𝑟_𝑟𝜃𝐞_𝑟 + 𝛤^𝜃_𝑟𝜃𝐞_𝜃 + 𝛤^𝑧_𝑟𝜃𝐞_𝑧 = 0 𝐞_𝑟 + (1/𝑟)𝐞_𝜃 +  0 𝐞_𝑧 이 되며, Figure 5.2이 추가 설명입니다.
     ∘  다른 텍스트들은 앞의 크리스토펠 기호를 2종이라 하고 이와 메트릭텐서와의 곱을 1종 크리스토펠 기호로서 다음과 같이 정의합니다.*
         𝛤_𝑖𝑗𝑙 = 𝑔_𝑘𝑙𝛤^𝑘_𝑖𝑗   (14.3.2) '텐서 해석 II-2: 일반 좌표계와 미분'  <- 여기 기저벡터 '𝐞_𝑘'를 거기서는 '𝐠_𝑘'로 표기함
     ∘  (2종) 크리스토펠 기호는 메트릭텐서와의 다음 관계식을  갖습니다.  <- 1종 크리스토펠 기호로 유도가 편리함 (다른 텍스트 참조) 
           𝛤^𝑙_𝑖𝑗 = (1/2)𝑔^𝑘𝑙 [∂𝑔_𝑖𝑘 /∂𝑥^𝑗 + ∂𝑔_𝑗𝑘 /∂𝑥^𝑖 - ∂𝑔_𝑖𝑗 /∂𝑥^𝑘]   (5.23)
        이 방정식으로 우리가 메트릭텐서를 아는 어떤 좌표계에서도 크리스토펠 기호를 바로 계산할 수 있습니다. 그래서 크리스토펠 기호를
        사용해 성분과 기저벡터의 변화를 찾는 도함수를 구할 수 있어서, tensor의 가장 중요한 성질인 '좌표계를 넘는 불변성'을 갖게 됩니다.
     ∘  예로서 원기둥좌표계 (𝑟, 𝜙, 𝑧) 경우를 (5.16-18)처럼 구해보면,  ds² = d𝑟² + 𝑟²d𝜙² + d𝑧². 𝑔₁₁ = 1, 𝑔₂₂ =  𝑟², 𝑔₃₃ = 1, (기타) = 0. 그중,
        𝛤¹₂₂ = (1/2)𝑔¹¹[∂𝑔₂₁/∂𝑥²+∂𝑔₂₁/∂𝑥²-∂𝑔₂₂/∂𝑥¹] + (1/2)𝑔²¹[∂𝑔₂₂/∂𝑥²+∂𝑔₂₂/∂𝑥²-∂𝑔₂₂/∂𝑥²] + (1/2)𝑔³²[∂𝑔₂₃/∂𝑥²+∂𝑔₂₃/∂𝑥²-∂𝑔₂₂/∂𝑥³]
        𝛤¹₂₂ = (1/2)(1)[∂(0)𝑔/∂𝜙 + ∂(0)𝑔/∂𝜙 - ∂𝑟²/∂𝑟] + (1/2)(0)[∂𝑔₂₂/∂𝜙 + ∂𝑔₂₂/∂𝜙 - ∂𝑟²/∂𝜙] + (1/2)(0)[∂(0)𝑔/∂𝜙 + ∂(0)𝑔/∂𝜙 - ∂𝑟²/∂𝑧]
        𝛤¹₂₂ = (1/2)(1)[0 + 0 - 2𝑟] + 0 + 0 = -𝑟. 이것은 𝜙방향으로 움직이면 기저벡터 𝛟가 원점에서 거리가 -𝑟인 성분을 갖음를 의미합니다.  
        또한 이와 유사 방법으로 모두를 구하면, '0'이 아닌 크리스토펠 기호값은 𝛤²₁₂ = 𝛤²₁₂ = 1/𝑟.  ▮

     5.8 Covariant differentiation 공변미분
     ∘  공변미분이란 vector나 텐서-반변, 공변, 혼합텐서-를 미분함에 있어서, 기저벡터의 크기와 방향의 변화를 포함하는 것을 가리킵니다.
        이런 도함수 유형을 "공변도함수"라고 부르는데, 이는 유클리드 공간에서뿐만 아니라 일반상대성의 휘어진 리만 공간에서도 적용됩니다.
        또한 3차원 유클리드 공간에 묻힌 곡면의 한 접평면상 vector가 방향은 유지한 채, 다른 곳의 접평면으로 '평행운송'하는 수단이 됩니다.
        ∂𝐀/∂𝑥^𝑗 =  ∂𝐴^𝑖𝐞_𝑖)/∂𝑥^𝑗 = (∂𝐴^𝑖/∂𝑥^𝑗)𝐞_𝑖 + 𝐴^𝑖(∂𝐞_𝑖 /∂𝑥^𝑗) = (∂𝐴^𝑖/∂𝑥^𝑗)𝐞_𝑖 + 𝐴^𝑖(𝛤^𝑘_𝑖𝑗𝐞_𝑘) = (∂𝐴^𝑖/∂𝑥^𝑗 + 𝐴^𝑘𝛤^𝑖_𝑘𝑗)𝐞_𝑖.  <- 우변의 합지수를 𝑖->𝑘,  𝑘->𝑖
     ∘  공변도함수는 다음과 같이 정의합니다.  𝐴^𝑖_;𝑗 ≡ ∂𝐴^𝑖/∂𝑥^𝑗 + 𝐴^𝑘𝛤^𝑖_𝑘𝑗,  𝐴_𝑖;𝑗 ≡ ∂𝐴_𝑖/∂𝑥^𝑗 - 𝐴_𝑘𝛤^𝑘_𝑖𝑗.   (5.24,25)  <- '텐서 해석 개론' 유도과정 참조
     ∘  위 식을 명확하게 알기 위해서, 예로서 원기둥좌표계 (𝑟, 𝜙, 𝑧)에서 vector 𝐀의 𝜙에 대한 공변도함수를 고려해본다면,
         𝐴^𝑟_;𝜙 =  ∂𝐴^𝑟/∂𝜙 + 𝐴^𝑟𝛤^𝑟_𝑟𝜙 + 𝐴^𝜙𝛤^𝑟_𝜙𝜙 + 𝐴^𝑧𝛤^𝑟_𝑧𝜙 = ∂𝐴^𝑟/∂𝜙 + 0 + 𝐴^𝜙(-𝑟) + 0,   (<- 𝑧축은 직교하므로 고려하지 않음)
         𝐴^𝜙_;𝜙 =  ∂𝐴^𝜙/∂𝜙 + 𝐴^𝜙𝛤^𝜙_𝑟𝜙 + 𝐴^𝑟𝛤^𝜙_𝜙𝜙 + 𝐴^𝑧𝛤^𝜙_𝑧𝜙 = ∂𝐴^𝜙/∂𝜙 + 𝐴^𝑟(1/𝑟) + 0 + 0,  ∴  ∂𝐀/∂𝜙 = (∂𝐴^𝑟/∂𝜙 - 𝑟𝐴^𝜙)𝐞_𝑟 + {∂𝐴^𝜙/∂𝜙 + (1/𝑟)𝐴^𝑟}𝐞_𝜙.  ▮
     ∘  2차 tensor의 경우는,  𝐴^𝑖𝑗_;𝑘 = ∂𝐴^𝑖𝑗/∂𝑥^𝑘 + 𝐴^𝑙𝑗𝛤^𝑖_𝑙𝑘 + 𝐴^𝑖𝑙𝛤^𝑗_𝑙𝑘,   𝐵_{𝑖𝑗 ;𝑘} = ∂𝐵_𝑖𝑗/∂𝑥^𝑘 - 𝐵_𝑙𝑗𝛤^𝑙_𝑖𝑘 - 𝐵_𝑖𝑙𝛤^𝑙_𝑗𝑘,   𝐶^𝑖_{𝑗 ;𝑘} = ∂𝐶^𝑖_𝑗/∂𝑥^𝑘 + 𝐶^𝑙_𝑗𝛤^𝑖_𝑙𝑘 - 𝐶^𝑖_𝑙𝛤^𝑙_𝑗𝑘.

     5.9 Vectors and one-forms 벡터와 one-form
     ∘  근래에 발간된 일반상대성에 관한 물리학 텍스트들에서는 "코벡터(covector)"와 "ond-form"이란 용어를 더 선호하여, 우리가 설명해온
        반변성분과 공변성분에 대한 언급이 적은 것에 놀랄지도 모릅니다. 하지만 나-저자-는 "전통적" 표현법과 "현대적" 접근법 모두 가치가
        있다고 믿습니다. 왜냐하면 그 차이가 핵심 개념에 있는 것이 아니고 "관점(perspective)"에서 생기기 때문입니다. 현대적인 용어법으로는
        vector는 반변적 양으로 변환하고, one-form은 공변적 양으로 변환합니다. 속도같이 분자에 길이 차원이 있으면 자연히 vector 범주에
        적합하고, 스칼라장의 기울기처럼 분모에 길이 차원이 있는 양들은 자연히 one-form 범주에 속합니다. Figure 5.3에서 표현된 vector처럼
        화살표의 각도와 길이는 방향과 크기를 나타내고 one-form은 그 방향에 수직으로 있는 surface들로서 그 간격이 크기에 반비례합니다.
     ∘  전통적으로 반변벡터와 공변벡터의 곱이 메트릭텐서 없이 스칼라를 만드는 것 처럼, vector는 원래 기저벡터로써 확장하고 one-form은
        전통적으로 쌍대기저벡터인 기저 one-form으로 확장하여 vector와 one-form의 곱이 불변량(스칼라)을 생성합니다. 그러한 곱의 아주 좋은
        도식적 표현 중 하나가 다수의 one-form surface들을 vector의 화살표가 관통하며 스칼라를 만드는 것입니다. 
         ∘  현대적 접근법을 사용하는 저자들은 종종 vector와 one-form을 연산자(operator)로서 역할을 강조하여 one-form들이 vector들을 "취해서
        (take)" 스칼라를 만든다는 식의 언급을 만날 것입니다. 마찬가지로, 고차 tensor는 다중의 vector와 또는 one-form을 취해서 스칼라를
        만듭니다. 이 관점으로는, 메트릭텐서는 두개의 vector나 두개의one-form을 취하여 스칼라곱을 만드는 하나의 연산자이며, 메트릭텐서의
        성분은 그 기저벡터나 one-form을 제공하는 것으로  발견되기도 할 것입니다.

       * The Christoffel symbols of the first kind  <- '텐서 해석 개론'과 'Differential Geometry and Relativity Theory' 참조