진공에서의 등가 작용을 찾는 방법으로서 일반 좌표계 변환에 있어서 scalar가 아닌 것으로 우회하기 위해 Lagrangian 밀도 𝓛𝐸𝐻 = √-𝑔𝑅 를
다음으로 쓸 수 있다.
𝓛𝐸𝐻 = √-𝑔𝑔𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈 = √-𝑔𝑔𝜇𝜈(∂𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎 - ∂𝜎𝛤𝜎𝜇𝜈 + 𝛤𝜏𝜇𝜎𝛤𝜎𝜏𝜈 - 𝛤𝜏𝜇𝜈𝛤𝜎𝜏𝜎) = √-𝑔𝑔𝜇𝜈(∂𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎 - ∂𝜎𝛤𝜎𝜇𝜈) - 𝓛̄̄, (19.40)
여기서 마지막 줄에서 우리는 새 Lagrangian 밀도를 정의했다.
𝓛̄ ≡ √-𝑔𝑔𝜇𝜈(𝛤𝜏𝜇𝜈𝛤𝜎𝜏𝜎 - 𝛤𝜏𝜇𝜎𝛤𝜎𝜏𝜈) (19.41)
(19.40)의 마지막 줄에서 첫항의 지수의 label을 고치고 곱의 법칙을 적용하면 다음이 되고, 이어서 마지막 항의 값을 구하면,
√-𝑔𝑔𝜇𝜈(∂𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎 - ∂𝜎𝛤𝜎𝜇𝜈) = ∂𝜈(√-𝑔𝑔𝜇𝜈𝛤𝜎𝜈𝜎) - √-𝑔𝑔𝜎𝜈𝛤𝜇𝜎𝜈) - ∂𝜈(√-𝑔𝑔𝜇𝜈)𝛤𝜎𝜇𝜎 + ∂𝜎(√-𝑔𝑔𝜇𝜈)𝛤𝜎𝜇𝜈, (19.42)
∂𝜎(√-𝑔𝑔𝜇𝜈) = 1/2 (- 𝑔)-1/2𝑔𝜇𝜈∂𝜎𝑔 + √-𝑔∂𝜎𝑔𝜇𝜈. (19.43)
앞 Section 30.10 (3.24)에서 유도된 결과를 사용하면, ∂𝜎𝑔 = 2𝑔𝛤𝜌𝜌𝜎 그리고 그 metric (혹은 역메트릭)의 공변도함수는 0이므로,
𝛻𝜎𝑔𝜇𝜈 = ∂𝜎𝑔𝜇𝜈 + 𝛤𝜇𝜌𝜎𝑔𝜌𝜈 + 𝛤𝜈𝜌𝜎𝑔𝜇𝜌 = 0.※
이리하여(이를 인정한다면), (19.43)은 다음이 되고, 다시 이 결과를 (19.42)에 대입하고, 지수 label들을 조정하면 그 다음이 된다.
∂𝜎(√-𝑔𝑔𝜇𝜈) = √-𝑔(𝛤𝜇𝜌𝜎𝑔𝜇𝜈 - 𝛤𝜇𝜌𝜎𝑔𝜌𝜈 -𝛤𝜈𝜌𝜎𝑔𝜇𝜌).
√-𝑔𝑔𝜇𝜈(∂𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎 - ∂𝜎𝛤𝜎𝜇𝜈) = ∂𝜇(√-𝑔𝑔𝜇𝜈𝛤𝜎𝜈𝜎 - √-𝑔𝑔𝜎𝜈𝛤𝜇𝜎𝜈) + 2𝓛̄̄.
이리하여, 우리는 드디어 Einstein-Hilbert Lagrangian 밀도 (19.40)를 다음으로 쓸 수 있음을 발견한다.
𝓛𝐸𝐻 = 𝓛̄̄ + ∂𝜇(√-𝑔𝑔𝜇𝜈𝛤𝜎𝜈𝜎 - √-𝑔𝑔𝜎𝜈𝛤𝜇𝜎𝜈) (19.44)
우리는 (19.44)의 우변 둘째 항이 한 전미분(total derivative)이므로-사라지게 되어, 즉시 𝓛𝐸𝐻와 𝓛̄̄가 하나의 표현임을 발견한다. 두 Langrangian
밀도는 그러므로 동일 하다. 이는 Section 19.5에서 논의 했던 새로운 다음 작용의 변분은
𝑆̄̄ = ∫𝓡 𝑔𝜇𝜈(𝛤𝜏𝜇𝜈𝛤𝜎𝜏𝜎 - 𝛤𝜏𝜇𝜎𝛤𝜎𝜏𝜈)√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.45)
Einstein-Hilbert 작용 𝑆𝐸𝐻이 했던 것과 동일한 장방정식에 이르게 될 것이다. 하지만, 이 새 작용 𝑆̄̄이 일반 좌표계 변환에 대한 한 scalar가 아니므로, 위 결과들을 채택하는데 주의해야 한다.
19.10 The Palatini approach for general relativity in vacuo (진공에서의 일반상대성을 위한 Palatini 접근)
Einstein의 장방정식을 오로지 동적인 field들과 그 일차도함수에 의존하는 한 작용으로터 얻는 더 우아하고 계몽적인 방법은 소위 Palatini 접근이다.
이 formalism에서는 그 metric 𝑔𝜇𝜈과 connection 𝛤𝜎𝜇𝜈를 독립한 field들로 취급한다. 다른 말로는, 그 metric과 그 connection의 어떤 외연적 관련성도
전혀 추정하지 않는다. 우리는 다음의 Einstein-Hibert Lagrangian 밀도에서 다시 시작한다.
𝓛𝐸𝐻 = √-𝑔𝑔𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈 = √-𝑔𝑔𝜇𝜈(∂𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎 - ∂𝜎𝛤𝜎𝜇𝜈 + 𝛤𝜏𝜇𝜎𝛤𝜎𝜏𝜈 - 𝛤𝜏𝜇𝜈𝛤𝜎𝜏𝜎),
우리는 이제 이것을 metric, connection 그리고 그 connection의 일차도함수의 한 함수로 고려해서, 즉, 𝓛𝐸𝐻 = 𝓛𝐸𝐻(𝑔𝜇𝜈, 𝛤𝜎𝜇𝜈, ∂𝜌𝛤𝜎𝜇𝜈). 먼저 그
metric 안에서의 한 변분으로부터 결과하는 작용의 변분을 고려하도록 하라. 그것은 다음으로 쓸 수 있다.
𝛿𝑆𝐸𝐻 = ∫𝓡 𝛿(√-𝑔𝑔𝜇𝜈)𝑅𝜇𝜈 𝑑4𝑥..
그 metric에서 임의의 변분을 위하여 𝛿𝑆𝐸𝐻 = 0 을 필요로 하면서, 우리는 곧바로 다음을 발견한다.
𝑅𝜇𝜈 = 0,
위 식은 진공에서의 Einstein의 장방정식을 제공한다.
이제부터는 𝛻𝜎𝑔𝜇𝜈 = 0 을 추론합니다. 먼저 connection에 대하여 작용을 변화시켜서 다음을 얻는다.
𝛿𝑆𝐸𝐻 = ∫𝓡 √-𝑔𝑔𝜇𝜈𝛿𝑅𝜇𝜈 𝑑4𝑥 = ∫𝓡 √-𝑔𝑔𝜇𝜈[𝛻𝜈(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜎) - 𝛻𝜎(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜈)] 𝑑4𝑥, (19.46)
지수의 label을 조정하고 Leibnitz의 정리-부분 적분을 사용하면 우리는 위 식을 다음처럼 쓸 수 있다.
𝛿𝑆𝐸𝐻 = ∫𝓡 𝛻𝜈(𝑔𝜇𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎 - 𝑔𝜇𝜎𝛤𝜈𝜇𝜎) √-𝑔𝑑4𝑥 + ∫𝓡 [(𝛻𝜌𝑔𝜇𝜈)𝛤𝜌𝜇𝜈 - (𝛻𝜈𝑔𝜇𝜈)𝛤𝜌𝜇𝜌] √-𝑔𝑑4𝑥, (19.47)
여기서 첫째 항은 완전 미분이므로 앞의 경우들처럼 사라지며, 여기서 뒤의 label들을 다시 조정하면 다음이 된다.
𝛿𝑆𝐸𝐻 = -∫𝓡 (𝛿𝜈𝜌𝛻𝜎𝑔𝜇𝜎 - 𝛻𝜌𝑔𝜇𝜈)𝛿𝛤𝜌𝜇𝜈 √-𝑔𝑑4𝑥. (19.48)
𝛿𝑆𝐸𝐻 = 0가 요구되므로 (18.48)의 괄호 안 식은 사라져야 한다; 𝛿𝛤𝜌𝜇𝜈와 연결될 때는 반대칭 부분은 자동으로 사라진다. 이렇게 작용의 정상성은
다음을 필요로 한다.
(1/2)𝛿𝜈𝜌𝛻𝜎𝑔𝜇𝜎 + (1/2)𝛿𝜇𝜌𝛻𝜎𝑔𝜈𝜎 + 𝛻𝜌𝑔𝜇𝜈)𝛿𝛤𝜌𝜇𝜈 = 0,
우리는 이렇게 𝛻𝜌𝑔𝜇𝜈 = 0 을 추론하며, 이는 𝛻𝜌𝑔𝜇𝜈 = 0, 을 암시한다. 우리는 이와같이 Einstein-Hibert 작용의 정상성의 요구에 의해서 metric의
공변도함수가 사라져야 함을 추론했다.* (이하 생략)
19.11 General relativity in the presence of matter (물질의 현존에서의 일반상대성)
우리는 이제 한 변분 원리에 의해서 다른 field들이 있을 경우의 온전한 Einstein 방정식을 구할 수 있는가를 고려한다. 이 일반화를 위해서는 단순히 그
작용에 별도 항을 더할 필요가 있다.
𝑆 = 1/2𝜅 𝑆𝐸𝐻 + 𝑆𝛭 = ∫𝓡 [ 1/2𝜅 𝓛𝐸𝐻 + 𝓛𝛭] 𝑑4𝑥. (19.49)
𝑆𝛭은 현존하는 어떤 비중력장을 위한 '물질' 작용이고, 또한 𝜅 = 8π𝐺/𝑐4. 그 요소 1/2𝜅는 나중의 편의성을 위한 선택이다.
그 역metric에 대한 작용을 변화시키면 다음을 얻는다.
1/2𝜅 𝛿𝓛𝐸𝐻/𝛿𝑔𝜇𝜈 + 𝛿𝓛𝛭/𝛿𝑔𝜇𝜈 = 0.
(19.38)로부터 우리는 다음을 알고 있다.
𝛿𝓛𝐸𝐻/𝛿𝑔𝜇𝜈 = √-𝑔𝐺𝜇𝜈, 𝐺𝜇𝜈 = 𝑅𝜇𝜈 - 1/2 𝑔𝜇𝜈𝑅,
여기서 𝐺𝜇𝜈는 Einstein tensor이다. 여기서 우리가 비중력장(혹은 '물질')의 energy-momentum tensor가 다음으로 주어진다는 대담한 주장을 한다면,
𝑇𝜇𝜈 = (2/ √-𝑔)𝛿𝓛𝛭/𝛿𝑔𝜇𝜈, (19.50)
우리는 온전한 Einstein 방정식을 복원한다.
𝐺𝜇𝜈 = -𝜅𝑇𝜇𝜈.
위의 '물질' energy-momentum tensor의 정의가 약간은 임의적으로 보일 수가 있다. 그럼에도 불구하고 우리는 이 tensor는 한 energy-momentum
tensor로서 요구되는 모든 성질을 지님을 다음 Section에서 보여준다.
19.12 The dynamical energy-momentum tensor (동적인 energy-momentum tensor)
앞의 (19.50)에서 정의된 𝑇𝜇𝜈의 양들은 동적인 energy-momentum tensor로 알려진 한 tensor의 성분들이다. 정의로부터 우리는 즉시 𝑇𝜇𝜈가 완전한
Einstein 방정식에 의해 요구되는 한 대칭 tensor임을 안다. 가장 중요하게, 우리는 이제 그것이 보존 방정식 𝛻𝜇𝑇𝜇𝜈 = 0 에 따르는 가를 보여준다.
그 정의 (19.50)로부터 그 metric의 변분으로부터 결과하는 물질 작용의 변분은 다음으로 주어진다.
𝛿𝑆𝛭 ≡ ∫𝓡 (𝛿𝓛𝛭/𝛿𝑔𝜇𝜈)𝛿𝑔𝜇𝜈 𝑑4𝑥 = 1/2 ∫𝓡 𝑇𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈 √-𝑔𝑑4𝑥 = -1/2 ∫𝓡 𝑇𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈 √-𝑔𝑑4𝑥, (19.51)
여기서, 마지막 등식에서, 우리는 나중의 편의성을 위해 그 tensor의 반변성분 𝑇𝜇𝜈으로 표기했으며, (19.33)를 사용했다. 이제 다음의 한 무한소 일반
좌표계의 변환을 만드는 것을 고려하도록 하라.
𝑥'𝜇 = 𝑥𝜇 + 𝜉(𝑥), (19.52)
여기서 𝜉(𝑥)는 한 무한소의 매끄러운 벡터장이다. 작용 𝑆𝛭이 한 공변 scalar이므로 우리는 일반좌표계 변환 하에서 𝛿𝑆𝛭 = 0 를 가져야만 한다. 우리는
무한소 좌표 변환 (19.52)에 대응하는 변환 행렬을 위한 표현 (17.3)을 사용하면, metric 계수들이 다음과 같이 변환해야 함을 알고 있다.**
𝑔'𝜇𝜈(𝑥') = (∂𝑥𝜌/∂𝑥'𝜇)(∂𝑥𝜎/∂𝑥'𝜈)𝑔𝜌𝜎(𝑥) = [𝛿𝜌𝜇 - ∂𝜇𝜉𝜌(𝑥)][𝛿𝜎𝜈 - ∂𝜈𝜉𝜎(𝑥)] 𝑔𝜌𝜎(𝑥) (19.53)
= 𝑔𝜇𝜈(𝑥) - 𝑔𝜌𝜈(𝑥)∂𝜇𝜉𝜌(𝑥) - 𝑔𝜇𝜎(𝑥)∂𝜈𝜉𝜎(𝑥). (19.54)
Section 19.3에서 언급한 것처럼, 이 변분은 오직 field들 𝑔𝜇𝜈의 범함수 형태이므로 우리는 𝜉𝜇안에서 일차로 다음 식을 갖는다.
𝛿𝑔𝜇𝜈 ≡ 𝑔'𝜇𝜈(𝑥) - 𝑔𝜇𝜈(𝑥) = [𝑔'𝜇𝜈(𝑥') - 𝑔𝜇𝜈(𝑥)] - [𝑔'𝜇𝜈(𝑥') - 𝑔'𝜇𝜈(𝑥)] = [𝑔'𝜇𝜈(𝑥') - 𝑔𝜇𝜈(𝑥)] - 𝜉𝜎(𝑥)∂𝜎𝑔'𝜇𝜈(𝑥)
= [𝑔'𝜇𝜈(𝑥') - 𝑔𝜇𝜈(𝑥)] - 𝜉𝜎(𝑥)∂𝜎𝑔𝜇𝜈(𝑥).
(19.54)를 사용하고, 종속변수 표시를 일치시켜 소거하면 우리는 다음을 발견한다.
𝛿𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜌𝜈∂𝜇𝜉𝜌 - 𝑔𝜇𝜌∂𝜈𝜉𝜌 - 𝜉𝜎∂𝜌𝑔𝜇𝜈 = -(𝛻𝜇𝜉𝜈 + 𝛻𝜈𝜉𝜇),
두번째 등식에서 편미분을 공변미분으로 바꾸고, 지수를 정리하고 또한 𝛻𝜌𝑔𝜇𝜈 = 0 임을 사용했다.
이 결과를 (19.51)에 대입하고 또한 좌표 변환하에서 𝛿𝑆𝛭 = 0 임을 기억하고 𝑇𝜇𝜈가 대칭임을 기억하면, 우리는 다음을 갖는다.
𝛿𝑆𝛭 = ∫𝓡 𝛻𝜇(𝑇𝜇𝜈𝜉𝜈)√-𝑔𝑑4𝑥 - ∫𝓡 (𝛻𝜇𝑇𝜇𝜈)𝜉𝜈√-𝑔𝑑4𝑥 = 0. (19.55)
첫번째 항은 발산 정리에 의해 표면적분을 하면 경계 ∂𝓡에서 사라짐을 가정하면 두번째 항만 남는데, 𝜉𝜇(𝑥)는 임의적이므로, 즉시 다음을 발견한다.
𝛻𝜇𝑇𝜇𝜈 = 0.
이제는 특정의 '물질' 작용들을 위한 이 tensor의 외연적 형태를 계산하기 위해서, 참 스칼라장 𝜙을 위한 작용 (19.25)을 고려함으로써 시작한다.
이 작용을 field 𝜙가 아닌 역metric에 대해서 변화시키면 우리는 다음을 얻는다.
𝛿𝑆𝜙 = ∫𝓡 {[(1/2)𝛿𝑔𝜇𝜈(𝛻𝜇𝜙)(𝛻𝜈𝜙)]√-𝑔 + [1/2 𝑔𝜇𝜈(𝛻𝜇𝜙)(𝛻𝜈𝜙) - 𝑉(𝜙)]𝛿(√-𝑔)} 𝑑4𝑥
= ∫𝓡 {[1/2 (𝛻𝜇𝜙)(𝛻𝜈𝜙) - 1/2 𝑔𝜇𝜈[1/2 𝑔𝜌𝜎(𝛻𝜌𝜙)(𝛻𝜎𝜙) - 𝑉(𝜙)]𝛿𝑔𝜇𝜈 √-𝑔𝑑4𝑥.
위를 (19.51)과 비교해 보면 우리는 즉시 한 참 스칼라장을 위한 enegy-momentum tensor가 다음에 의하여 주어짐을 안다.
𝑇𝜇𝜈(𝜙) = (𝛻𝜇𝜙)(𝛻𝜈𝜙) - 𝑔𝜇𝜈[1/2 (𝛻𝜎𝜙) (𝛻𝜎𝜙) - 𝑉(𝜙) ],
이것은 'Section 16.3 A scalar field as a cosmological fuild'에 나오는 tensor를 위한 표현과 일치한다.
우리는 역시 유사한 방식으로 전자기장을 위한 energy-momentum tensor를 얻을 수 있다. (19.29)와 (19.28)로부터 우리는 source가 없을 때의
전자기를 위한 작용을 다음으로 쓸 수 있다.
𝑆𝐸𝑀 = -(1/4𝜇0)∫𝓡𝑔𝜇𝜌𝑔𝜈𝜎𝐹𝜌𝜎𝐹𝜇𝜈 √-𝑔 𝑑4𝑥,
여기서 𝐹𝜇𝜈 = ∂𝜇𝛢𝜈 - ∂𝜈𝛢𝜇 그리고 그래서 그 metric에 의존하지 않는다. 이 작용을 역metric에 대하여 변화시키면, 우리는 다음을 갖는다.
𝛿𝑆𝐸𝑀 = -1/4𝜇0 ∫𝓡 [𝛿(𝑔𝜇𝜌𝑔𝜈𝜎)𝐹𝜌𝜎𝐹𝜇𝜈√-𝑔 + 𝐹𝜌𝜎𝐹𝜌𝜎𝛿(√-𝑔)] 𝑑4𝑥 = -1/4𝜇0 ∫𝓡 [2𝑔𝜌𝜎𝐹𝜇𝜌𝐹𝜈𝜎 - 1/2 𝑔𝜇𝜈𝐹𝜌𝜎𝐹𝜌𝜎]𝛿𝑔𝜇𝜈 √-𝑔𝑑4𝑥,
두번째 등식에서 우리는 𝛿√-𝑔를 위해서 표현 (19.37)을 치환했고, 어떤 dummy 지수들의 label을 조정했다. 위 표현을 (19.51)과 비교하면, 우리는
전자기장을 위한 energy-momentum tensor가 다음으로 주어짐을 발견한다.
𝑇𝜇𝜈(𝐸𝑀) = -𝜇0-1[𝐹𝜇𝜈𝐹𝜈𝜌 - (1/4)𝑔𝜇𝜈𝐹𝜌𝜎𝐹𝜌𝜎].
마지막으로, 우리는 장이론에서 Noether의 정리를 바탕으로 하는 한 정규적 energy-momentum tensor를 정의하는 하는 것이 공통적이라는 것에
주목한다.이것은 작용의 각각 모든 대칭을 위해서는 한 해당하는 보존된 energy가 존재함을 표명한다.특히, 만일 한 작용이 한 시공간의 이동하에서
불변이고, vector 𝑎𝜇가 시공간의 위치에 의존하지 않는 𝑥𝜇 → 𝑥𝜇 + 𝑎𝜇 형태에 의해서 특성화되었다면, 𝛻𝜇𝑆𝜇𝜈 = 0 에 복종하는 한 tensor 𝑆𝜇𝜈를
정의할 수 있다. 그것은 보통 정규 energy-momentum tensor로 불리는 이 tensor이다. 불행하게도, 그것을 사용하는데 다소의 결점들이 있는데,
왜냐하면 그것이 (그렇게 만들 수는 있으나) 반드시 대칭적이거나 혹은 gauge 불변적이지 않기 때문이다.
※ 여기서도 '역metric의 공변도함수가 사라진다'는 가정을 사용했으나, Dirac은 다른 방식으로 추론했음. [Dirac's GR (pp. 48-50)]
* '역metric의 공변도함수는 사라짐'의 간단 명료한 증명을 E. Schrödinger Space-Time Structure (1950, Cambridge University Press)에서 찾았음.
( 𝑔𝑖𝑘;𝑚 = 0. Hence,) 𝑔𝑖𝑘;𝑚𝑔𝑖𝑙 + 𝑔𝑖𝑘𝑔𝑖𝑙;𝑚 = 𝛿𝑘𝑙;𝑚 = 0. Multiplying this by 𝑔𝑘𝑠, you find 𝑔𝑠𝑙;𝑚 = - 𝑔𝑘𝑠𝑔𝑖𝑙𝑔𝑖𝑘;𝑚 = 0.
** 'Chapter 17 Linearised general relativity'의 내용으로 약한 중력장의 경우에 한정됨.
p.s. 'Section 19.9 진공에서의 작용을 찾는 방법'은 Dirac의 GR(Section 26)과 해당 Lagrangian은 같지만 이후 추론 방식이 상이합니다.
A. Palatini (1889–1949)는 이탈리아의 수학자인데, 위의 Palatini formalism은 실상은 Einstein이 1925년에 만들었습니다.
